文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
U=R A={x||x-2|≥1},B=¿ (∁ A)∪B=
U
A．{x|-32
1 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若(
√3 x-
1) n的展开式的二项式系数之和为16，则(
√3 x+
1) 2n的展开式中 1 的系数为 .
x x x4
14．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， , 是抛物线上的两个动点，且满足
y2=2px(p>0) F l A B
2|MN|
⃗AF⋅⃗FB=0.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则 的最大值是 .
3|AB|
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内
部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB
1
上取两个点C，D，使得AC=DB= AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后
4
去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；
依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：
n S {S }
n n
①数列 是等比数列；
{S }
n
②数列 是递增数列；
{S }
n
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n ，都有S >2018 ；
n
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有S <2018．
n
其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号）.
16．已知函数f (x)=¿，若存在m∈(2,8)，使得方程f (x)=m-9有两个不同的实数根且两根之和
为6，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）17．记数列 {a } 的前n项和为 S ，已知 a =-6 ，且满足S n+1 +S n +a 2=3 .
n n 1 a
n+1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)记数列 的前n项和为 ，若 ， ， ，求 .
{b } T b =2n-a b =a -2 b =a +n T
n n 3n n 3n-1 n 3n-2 n 3518．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
A-B
4cos2 -2=4sinAsinB-❑√3.
2
(1)求角C的大小；
2+❑√3
(2)若S = ，求c的最小值.
△ABC 4
19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，BC=2AD=❑√6，AB=❑√3，
AC与BD交于点M，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使点A到达点P的位置.
(1)证明：BD⊥PC；
❑√7
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为 ，求三棱锥P-BCD的体积.
7
20．（12分）已知某工厂加工5G手机的某种精密配件的合格率为p(0b>0) -❑√3,-
a2 b2 2 2
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知过右焦点F的直线l与C交于A,B两点，在x轴上是否存在一个定点P，使∠OPA=∠OPB？
若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.
ex
22．（12分）已知f (x)= ，g(x)=asinx，直线l 是y=f (x)在x=1处的切线，直线l 是
x 1 2
y=g(x)在x=0处的切线，若两直线l 、l 夹角的正切值为2，且当x>0时，直线l 恒在函数
1 2 2
y=g(x)图象的下方.
(1)求a的值；
(2)设F(x)=f (x)+g(x)，若x 是F(x)在(-π,0)上的一个极值点，求证：x 是函数F(x)在
0 0
上的唯一极大值点，且 .
(-π,0) 0
