文档文本内容
2024 年高考数学第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
U=R A={x||x-2|≥1},B=¿ (∁ A)∪B=
U
A．{x|-3<x<3} B．{x|-2<x<3}
C．{x|1<x<3} D．{x|1<x<2}
5+5i
2．已知z= （i为虚数单位），则|z-2z|=（ ）
2+i
A．4 B．3 C．3❑√2 D．2❑√3
3．已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，以P为球心的球
与底面ABC相切，则该球的半径为（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√3 2❑√3
A． B． C． D．
6 3 2 3
4．若 sin ( π +α )+cos ( π +α )= ❑√3，则 cos (11π -α ) = （ ）
2 3 3 6
❑√3 1 1 ❑√3
A．- B．- C． D．
3 3 3 35．在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4中的某一个数字（可以重复），则顶点A,B
处的数字都大于顶点C,D处的数字的标注方法有（ ）
A．36种 B．48种 C．24种 D．26种
x2 y2
6．已知第一象限内的点P在双曲线C: - =1的渐近线上，O为坐标原点，F为C的右焦点，
16 9
|PF|
则 取得最小值时，△POF的面积为（ ）
|PO|
50 100 75 15
A． B． C． D．
3 3 8 8
1
7．在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设⃗CE=x⃗CA+ y⃗CB，
3
2x+3 y
则 的最小值是（ ）
3xy
A．3 B．1 C．2 D．4
1
8．已知a= ，b=log 2，c=sin(cos1.1)，则（ ）
√
3e 3
A．b<c<a B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
C:(x-2) 2+ y2=4 l:y=kx(k∈R)
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则|AB|的最大值为4
1
C．当k=-1时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
2
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
k=1 λ∈R E:x2+ y2-(λ+4)x+λy=0 l
1 11 7
10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)= ，P(B)= ，P(AB+AB)= ，则
2 24 24
下列结论中正确的是（ ）
1 5
A．P(AB)= B．P(A+B)=
8 69
C．P(A|B)= D．P(A|B)=P(B|A)
11
11．在正方体 中， ，点P满足 ，其中
ABCD-A B C D AB=1 ⃗CP=λ⃗CD+μ⃗CC
1 1 1 1 1
λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则下列结论正确的是（ ）
π
A．当B P//平面A BD时，B P与CD 所成夹角可能为
1 1 1 1 3
❑√2+❑√5
B．当λ=μ时，|⃗DP|+|⃗A P|的最小值为
1 2
π π
C．若B P与平面CC D D所成角为 ，则点P的轨迹长度为
1 1 1 4 2
D．当 时，正方体经过点 的截面面积的取值范围为[❑√3 ]
λ=1 A ,P,C ,❑√2
1 2
12．已知函数 ，且函数 有三个零点 ，
f(x)=x2-8x+6lnx g(x)=f(x)-m x ,x ,x (x <x <x )
1 2 3 1 2 3
则下列判断正确的是（ ）
A．f(x)的单调递减区间为(1,3)
B．实数m的取值范围为(6ln3-15,-7)
C．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+14-6ln2
D．x +x >2
1 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若(
√3 x-
1) n的展开式的二项式系数之和为16，则(
√3 x+
1) 2n的展开式中 1 的系数为 .
x x x4
14．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， , 是抛物线上的两个动点，且满足
y2=2px(p>0) F l A B
2|MN|
⃗AF⋅⃗FB=0.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则 的最大值是 .
3|AB|
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内
部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB
1
上取两个点C，D，使得AC=DB= AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后
4
去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；
依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：
n S {S }
n n
①数列 是等比数列；
{S }
n
②数列 是递增数列；
{S }
n
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n ，都有S >2018 ；
n
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有S <2018．
n
其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号）.
16．已知函数f (x)=¿，若存在m∈(2,8)，使得方程f (x)=m-9有两个不同的实数根且两根之和
为6，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）17．记数列 {a } 的前n项和为 S ，已知 a =-6 ，且满足S n+1 +S n +a 2=3 .
n n 1 a
n+1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)记数列 的前n项和为 ，若 ， ， ，求 .
{b } T b =2n-a b =a -2 b =a +n T
n n 3n n 3n-1 n 3n-2 n 3518．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
A-B
4cos2 -2=4sinAsinB-❑√3.
2
(1)求角C的大小；
2+❑√3
(2)若S = ，求c的最小值.
△ABC 4
19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，BC=2AD=❑√6，AB=❑√3，
AC与BD交于点M，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使点A到达点P的位置.
(1)证明：BD⊥PC；
❑√7
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为 ，求三棱锥P-BCD的体积.
7
20．（12分）已知某工厂加工5G手机的某种精密配件的合格率为p(0<p<1)，若加工后的30件这
种精密配件中恰有6件不合格的概率为f (p)，且f (p)的极大值点为p ．
0
(1)求p ；
0(2)设该工厂加工5G手机的这种精密配件的合格率为p ，在合格品中，优等品的概率为0.5．
0
①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件，设其中优等品有X件，若P(X=6)最大，求抽取的
这种精密配件最多有多少件；
②已知某5G手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料，经过该工厂加工后，每件优等品、合
格品分别以150元、100元被该5G手机生产商回收，同时该工厂对不合格品进行复修，每件不合格
品只能复修为合格品或不合格品，且复修为合格品和不合格品的概率均为0.5，复修后的合格品按
合格品的价格被回收，复修后的不合格品按废品处理掉，且每件不合格品还需要向该5G手机生产
商赔偿原料费30元．若该工厂要求每个这种精密配件至少获利50元，加工费与复修费相等，求一
个这种精密配件的加工费最高为多少元？
21．（12分）知椭圆 x2 y2 的离心率为❑√3，且过点( 3).
C: + =1(a>b>0) -❑√3,-
a2 b2 2 2
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知过右焦点F的直线l与C交于A,B两点，在x轴上是否存在一个定点P，使∠OPA=∠OPB？
若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.
ex
22．（12分）已知f (x)= ，g(x)=asinx，直线l 是y=f (x)在x=1处的切线，直线l 是
x 1 2
y=g(x)在x=0处的切线，若两直线l 、l 夹角的正切值为2，且当x>0时，直线l 恒在函数
1 2 2
y=g(x)图象的下方.
(1)求a的值；
(2)设F(x)=f (x)+g(x)，若x 是F(x)在(-π,0)上的一个极值点，求证：x 是函数F(x)在
0 0
上的唯一极大值点，且 .
(-π,0) 0<F(x )<2
0
