文档内容
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清
楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求）
1. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了100位用户的评分数据，整理得如图所示的频
率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为（ ）
A. 平均数 中位数 B. 平均数 中位数
C. 平均数 中位数 D. 不确定
3. 已知函数 为偶函数，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
4. 的展开式中， 的系数为（ ）
.
A B. C. D.
5. 已知 为平面上的点，平面上三点 ，若集合
（ 为 所在直线的斜率），则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列 的通项公式为 ，则使 的前 项和 成立的 的（ ）
（参考数据： ）
A. 最小值为7 B. 最大值为7
为
C. 最小值 8 D. 最大值为8
7. 口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一
次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 在 上单调， 为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司9. 已知集合 ， ，下列对应关系能构成函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于
两点，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 在 上的投影向量为
B.
C. 若 的长度为 ，则 点的轨迹长度为
D. 设 ，则 的最大值为
11. 已知 ，直线 ， 为原点， 是 上的一个动点，直线 与 交于点
，平面上另一动点 满足 ，点 的轨迹记为曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 关于 轴对称
B.
C. 上有4个整点（横，纵坐标均为整数的点）
D. 的最小值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则 __________.
13. 刘徽在《九章算术注》中首次明确提出了球缺和球分的概念，如图，球被平面截取，曲面部分为球冠，
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学科网（北京）股份有限公司球冠与截面围成的部分为球缺，祖暅精确推导了球缺的体积计算公式为 ，其中 是球的
半径， 是球缺的高（即球冠顶点到截面的距离）.连接球心与截面，与球冠围成的部分为球分.若一球缺的
高为3，截面半径为 ，则它对应的球分的体积为__________.
14. 如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“ ”的标签号，某人从第一道门出发，
从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开.数完一轮后回到起点，
再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在 中，角 所对的边分别为 为边 的中点， ，且
.
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
.
16 已知 .
（1）当 存在极小值时，求极小值的最值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 在 处的切线与 的图象有且仅有一个公共点，求 的
值.
17. 如图甲，在等腰直角 中， ，沿底边的高 与 的中位线 ，分别将 和
折起到 和 的位置，如图乙，折叠过程保持 .
（1）证明： 四点共面；
的
（2）求直线 与平面 所成角 正弦的最大值.
18. 椭圆 的长轴在 轴上，长轴长为4，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与 交于 ，直线 与 交于
.
①证明： ；
②设直线 与直线 轴分别交于点 ，求 的值.
19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一､从起步发展至今仅四十多年
的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种
植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据
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学科网（北京）股份有限公司及散点图如图
（1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①： 与模型②： ，（ 均
为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积 关于年份代码 的回归方程类型，求出 关于
的回归方程；
1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5
其中 .
（2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量
，且最多只能存活 天，研究人员发现，存活天数为 的样本在存活天数超过 的
样本里占 ，存活天数为1的样本在全体样本中占 .
①求 ；
②用 表示该品种鲜切花存活天数的数学期望 .
附： .
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