文档内容
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清
楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求）
1. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特称命题的否定规则即可得解.
【详解】命题“ ”的否定是“ ”，
故选：B.
2. 某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了100位用户的评分数据，整理得如图所示的频
率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 平均数 中位数 B. 平均数 中位数
C. 平均数 中位数 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数和中位数在频率分布直方图中的意义进行理解判定.
【详解】平均数对样本中的极端值更加敏感，对于一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图在左边
“拖尾”，平均数总是在“长尾巴”那边，则平均数小于中位数，
故选：A.
3. 已知函数 为偶函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，列式求解.
【详解】 为偶函数，则 ， ，取 ，则
.
故选：D.
4. 的展开式中， 的系数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 展开式的通项，再通过令通项中 的次数等于 ，求出对应的 值，最后将 值
代入通项求出 系数.
【详解】 的展开式的通项为 ，令
，解得 ，所以 的系数为 ，
故选：C.
5. 已知 为平面上的点，平面上三点 ，若集合
（ 为 所在直线的斜率），则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求点 ， 的轨迹方程，再联立方程求交集.
【详解】由题意可得，点P的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，方程为 ，
点Q的轨迹是过点 且斜率为1的直线（不含点 ），方程为 ，
联立方程组 解得 （舍），故 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知数列 的通项公式为 ，则使 的前 项和 成立的 的（ ）
（参考数据： ）
A. 最小值为7 B. 最大值为7
C. 最小值为8 D. 最大值为8
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列 的通项公式求出其前 项和 的表达式，再根据 这个条件解不等式，从
而确定 的取值范围，进而得出 的最小值.
【详解】 ，
故
，
令 ，解得 ， ，
解得 ， 的最小值为8.
故选：C
7. 口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一
次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定 和 的值，再代入公式计算 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设事件A=“第一次取出的是白球”，B=“剩下的球是黑球”， ， ，
所以 ， ，
故选：C.
8. 若函数 在 上单调， 为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数 求导，根据函数单调的性质得出 的特点，进而得到 与 的关系，再通过构造
函数，利用导数研究函数单调性来比较 与 、 与 的大小关系.
【详解】 ，
因为 在 上单调，所以 无变号零点，则 是方程 的解，
故 ，即 ， ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，
时， ， 时， ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，即 ； ，
令 ， 在 上单调递增，无最值，则 大小不确定，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合 ， ，下列对应关系能构成函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于 ， ，则 ，集合 中每个元素，在集合 中都有唯一元素与之对应，
故 正确；
对于 ，取 ，则 ，故 错误；
对于C，取 ，则 ，故C错误；
对于D， ， ，集合 中每个元素，在集合 中都有唯一元素与之对应，故D正
确.
故选：AD.
10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于
两点，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 在 上的投影向量为
B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 的长度为 ，则 点的轨迹长度为
D. 设 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量投影的概念判断A；利用两点间距离结合倍角公式判断B；结合向量的运算，确定P点
轨迹，可判断C；利用三角恒等变换结合三角函数性质可判断D.
【详解】由题意知 ，
则 在 上的投影向量为 ，故A正确；
因为 ， ，所以
，故B正确；
当 的长度为 时， ，所以 ，
点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，长度为 ，故C错误；
由于 ，则 ，
则
，
其最大值为 ，当 时取等号，故D正确，
故选：ABD.
11. 已知 ，直线 ， 为原点， 是 上的一个动点，直线 与 交于点
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学科网（北京）股份有限公司，平面上另一动点 满足 ，点 的轨迹记为曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 关于 轴对称
B.
C. 上有4个整点（横，纵坐标均为整数的点）
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】设 ， ，令 ，可得 ，令 可得
，根据 可得 的方程，将两点 ， 代入方程即可判断A；由
可得 的范围，即可判断 ；令 ， ， 即可判断 ；表示 ，利用基本
不等式即可判断 .
【详解】设 ， ，令 ，
则 ，即 ， ，
因为点 在 上，所以 ，即 ，
解得 （舍）或 ，
令 ，则 ，即 ， ，可得 ，
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，当 时， ，
从而 ，整理得 ；
当 时， 和 重合， ，方程也成立，所以 的方程为 ；
关于y轴对称的两点 ， 同时满足 的方程，故A正确；
由 ，解得 ，故B错误；
取 ，解得 ，取 ，解得 ，
取 ，解得 ，
取 ，解得 ，故 上有4个整点，C正确；
，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据已知向量的关系，得到 的方程，结合方程的解析式和变量
的范围求解.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】先通过复数的运算法则将给定的复数化简，再根据纯虚数的定义来确定参数的值.
【详解】因为 为纯虚数，
所以 且 ，解得 .
故答案为：
13. 刘徽在《九章算术注》中首次明确提出了球缺和球分的概念，如图，球被平面截取，曲面部分为球冠，
球冠与截面围成的部分为球缺，祖暅精确推导了球缺的体积计算公式为 ，其中 是球的
半径， 是球缺的高（即球冠顶点到截面的距离）.连接球心与截面，与球冠围成的部分为球分.若一球缺的
高为3，截面半径为 ，则它对应的球分的体积为__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据给定的方程求解半径 ，再分别计算球缺体积、圆锥体积，最后将两者体积相加得到球分的
体积.
【详解】由题可得， ，解得 ，
则 ， ，所以 .
故答案为：
14. 如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“ ”的标签号，某人从第一道门出发，
从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开.数完一轮后回到起点，
再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过分析每一轮报数后剩余标签号的规律，找出最终留下的标签号与门数范围的关系来求解.
【详解】第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即2的倍数；
第二轮报数，标签号2，4，6，…，200的报数结果分别为1，2，3，…，100，
剔除标签号2，6，10，…，198，剩余的标签号为4的倍数；
第三轮报数，标签号4，8，12，…，200的报数结果分别为1，2，3，…，50，
剔除标签号4，12，20，…，196，剩余的标签号为8的倍数；
重复以上步骤可得，当门数 时，最后留下的一道门的标签号为 ，
故标签号为128.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：128
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在 中，角 所对的边分别为 为边 的中点， ，且
.
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过正弦定理和余弦定理建立等式，求解出边 的值；
的
（2）利用角 关系和余弦定理建立方程，联立求解出线段长度，进而求出 的三角函数值，最后根
据三角形面积公式求出三角形面积。
【小问1详解】
由正弦定理， ，
由余弦定理， ，
.
所以 ，即 ，解得
【小问2详解】
设 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
联立方程得 ，解得 ， ，
所以 ， ，
.
16. 已知 .
（1）当 存在极小值时，求极小值的最值；
（2）若 在 处的切线与 的图象有且仅有一个公共点，求 的
值.
【答案】（1）极小值的最大值为0，无最小值.
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，可求出函数极值，继而构造函数，求得极值的最值；
（2）根据导数的几何意义求得 在 处的切线，与 联立，讨论
a，结合判别式即可求得答案.
【小问1详解】
， ，
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极值；
②当 时，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，无极大值，
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学科网（北京）股份有限公司极小值为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
综上所述，极小值的最大值为0，无最小值.
【小问2详解】
由题意知 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ，
联立方程 ，得 ，
当 时，方程仅有一解，符合题意；
当 时，令 ，解得 ，
故 .
17. 如图甲，在等腰直角 中， ，沿底边的高 与 的中位线 ，分别将 和
折起到 和 的位置，如图乙，折叠过程保持 .
（1）证明： 四点共面；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦的最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据条件证明 与 交于一点，即可证明四点共面；
（2）首先由条件可证明 平面 ，再以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，并表
示点 的坐标，利用向量法表示线面角，再根据三角函数求最值.
【小问1详解】
证明：如图，在 的延长线上取一点 ，使 ，
因为 ∥ ， ，所以 ，
同理可得， ，
即 ，所以 四点共面.
【小问2详解】
过点 作平面 的垂线，以 为原点建立空间直角坐标系如图，
不妨设 ，则 ， ， ， ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ，设 ，则 ，
则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ，
设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等，
所以直线 与平面 所成角正弦的最大值为 .
18. 椭圆 的长轴在 轴上，长轴长为4，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与 交于 ，直线 与 交于
.
①证明： ；
②设直线 与直线 轴分别交于点 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；② .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据离心率公式和长轴长计算即可；
（2）①直曲联立，结合韦达定理计算即可；
②设 ， ，由 三点共线，构造方程，
解得 ，同理可得， ，结合①结论，得到 ，化简即可.
【小问1详解】
解：设 的方程为 ，
则 解得 ，
所以 的方程为 .
【小问2详解】
①证明：联立方程 可得 ，
恒成立， ， ，
则 ，
同理可得， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
②解：由题 ，设 ， ，
因为 三点共线，所以 ，解得 ，
同理可得， ，
由①得， ，即 ，
，即 ，
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一､从起步发展至今仅四十多年
的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种
植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据
及散点图如图
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学科网（北京）股份有限公司（1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①： 与模型②： ，（ 均
为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积 关于年份代码 的回归方程类型，求出 关于
的回归方程；
1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5
其中 .
（2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量
，且最多只能存活 天，研究人员发现，存活天数为 的样本在存活天数超过 的
样本里占 ，存活天数为1的样本在全体样本中占 .
①求 ；
②用 表示该品种鲜切花存活天数 数的学期望 .
附： .
【答案】（1） 更适合，
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据散点图，确定 更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回
归方程；
（2）①根据条件概率，以及递推关系，可证明数列 是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，
再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式 ，再利用错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
由散点图可知， 更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程类型.
.
令 ，所以
因为 ， ， ， ，
所以 .
所以 ，
所以 .
云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程为 .
【小问2详解】
①由题可得， ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，即 ，
同理可得，当 时， ，
两式相减得 ，
即 ， ， ，
因为 ，
所以，当 时， 是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，
当 时， ，
所以 .
②
，
令 ，
则 ，
两式相减得，
，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由条件概率，以及公式 ，从
而列出数列 的递推关系式.
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学科网（北京）股份有限公司
