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2024 年高考数学第一次模拟考试（七省新高考 02）
数学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B A A C B D C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AD ACD BC ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． . 15． 16．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17．【详解】（1）由题意知，原式可化为 ，
即 .（1分）
整理可得： ，即 .（3分）
又因为 ，则 ，（4分）
所以 ，故 .（5分）
（2）因为 ，所以 ，（6分）
由余弦定理和基本不等式可得：
，（8分）当且仅当 时，等号成立，（9分）
所以 ，故 的最小值为 .（10分）
18．【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由题意， ， ， ，
所以 ，（1分）
即 ，（2分）
解得 ，或 （舍去），（3分）
所以 .（4分）
所以 ， ，
所以 ， ，（5分）
所以 ．（6分）
（2）由题意， ，①
，②
② ①得 ，（8分）
所以 ，（9分）
所以 .（10分）
当 时，由 可得 不满足上式.（11分）所以 ．（12分）
19．【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， .
因为 为 的中点， 为 的中点，且 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，（2分）
所以 且 .
又因为 ，且 ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，（4分）
所以 ， .
所以 ， ，
所以 ， ， ， 四点共面.（5分）
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ，所以 平面 .
如图，以B为原点，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， .（7分）设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ，所以 .（9分）
设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ， ，所以 .（11分）
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 .（12分）
20．【详解】（1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方
程类型.（1分）
（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
由题中的数据可得， ， ，（2分）
所以 ，（3分）
则 ，（4分）
所以z关于x的线性回归方程为 ，（5分）
故y关于x的回归方程为 ；（6分）
（3）用 ， 和 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 万，即 （7分）
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 万，如果发生，则收益为 万，即 ，（8分）
同样，采用第3种方案，有
所以， ，
，
.（11分）
显然， 最大，所以选择方案1最佳.（12分）
21．【详解】解：（1）设 ，
由题意知： ， ，
（1分）
，（2分）
解得： ，（3分）
椭圆 的标准方程为 ；（4分）
（2）根据题意，设 ， ，直线 ，
由 ，消去 并整理得： ，
则 ，
即 ， ，（5分）
， ，（6分）
，（9分）
又 ，
由 ，得： ，（10分）
解得： ，
， ，（11分）
故 .（12分）
22．【详解】（1）当 时， ， ，则 ，（1分）
设 ，则 ，（2分）
易知 在 上单调递增， ，（3分）
故 即 在 上单调递增， ，（4分）
故 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，最大值为 ．（5分）
（2）由 可得 ．（6分）
①当 时， ，又 ， ， 恰有1个零点；（7分）
②当 时，由 得 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值 ，
又 ，当 时， ，故 有2个零点；（8分）
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， 的极小值
，
极大值 ，
又当 时， ， 有1个零点；（10分）
④当 时，由 可得 或 ，由 可得 ，在 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值 ，极小值 ，
又当 时， ， 有1个零点；（11分）
⑤当 时， ， ，
单调递增， ， 有1个零点．
综上可知，当 时， 有2个零点；当 时， 有1个零点．（12分）
