文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试（七省新高考 02）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】∵ ，∴ ，则 ，
∴ .
故选：B
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算从而求解.
【详解】由题意知： ，则 ，所以： .故A项正确.
故选：A.
3．过抛物线 的焦点的直线的倾斜角为 ，则抛物线顶点到该直线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由题意首先求得焦点坐标，然后确定直线方程，最后由点到直线距离公式可得距离.
【详解】抛物线的标准方程是 ，其顶点是 ，焦点是 ，
由直线的倾斜角得其斜率是 ，所以直线的方程是 ，
则抛物线的顶点到直线的距离为 .
故选： .
4．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试
卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 ，则此次数学考试
成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200
C．300 D．400
【答案】C
【分析】由已知求出 进一步求出
则可求出答案.
【详解】
此次数学考试成绩在 分到 分之间得人数约为 .故选:C.
5．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪
念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼
共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的
边长约为32m，下底面正方形的边长约为34.5m，高的4倍比上底面的边长长4m，则光岳楼墩台
的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得光岳楼墩台的高 ，结合台体的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，设光岳楼墩台的高为h，则 ，
所以光岳楼墩台的体积约为 .
故选：B.
6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任
务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：
重点任务B必须排在前三位，且任务A、D必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
【答案】D
【分析】分任务B排在首位、第2位、第3位三种情况讨论即可．
【详解】若任务B排在首位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一
个整体和剩下的3个任务全排列即可，此时共有 种方案；
若任务B排在第2位，则第1位可排除A、D外的3项任务中的任意一项，有3种排法；将A、D
捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的2个任务全排列即可，此时共有 种方案；
若任务B排在第3位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体
有3个位置可排，再将剩下的3个任务全排列安排在剩下的3个位置即可，此时共有
种方案；
故总共有48+36+36=120种方案．
故选：D．
7．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数运算和对数函数的单调性得到 ， ， ，得到答案.
【详解】 ；
；
；
故 .
故选：C.
8．已知 的定义域为 ，且 是奇函数，当 时， ，函数
，则方程 的所有的根之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据 的定义域为 ，且 是奇函数，得到 的图象关于 对称，且
，再根据 的图象也关于 对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：因为 的定义域为 ，且 是奇函数，
所以 ，则 的图象关于 对称，且 ，
当 时， ，
又因为函数 ，
所以 的图象关于 对称，
所以方程 的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，
和 的图象，如图所示：
由图象知： 和 的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关
于 对称，
所以5个交点的横坐标之和为 ，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位：
)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是A．众数为30
B．中位数是31
C．平均数小于中位数
D．后4天的方差小于前4天的方差
【答案】AD
【分析】根据折线图，由众数，中位数，平均数，方差等概念及公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；
中位数即是处在中间位置的数字，将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，
31，32，34，38，42，126；处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为 ，即B错；
由折线图可得，平均数为： ，故C错；
前4天的平均数为： ，后4天的平均数为
前4天方差为： ，
后4天方差为：
，
所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题主要考查由折线图计算众数、中位数、平均数、方差等，属于基础题型.10．已知圆 上存在两个点到点 的距离为 ，
则m的可能的值为
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，圆 与圆 相交，再由两圆圆心距大
于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.
【详解】由题知，圆 与圆 相交，
所以， ，即 ，
解得 ，即 的值可以为： 或 或 .
故选：ACD.
【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.
11．已知 是数列 的前 项和， ，则下列递推关系中能使 存在最大值的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，根据等比数列求和公式求出 ，可得A不正确；对于B，根据等差数列的通项
公式可得B正确；对于C，计算出数列的前四项，结合单调性可得C正确；对于D，推出数列为
周期函数，可得D不正确.
【详解】对于A，由 ， ，可得 ， ，
当 为正奇数且趋近于无穷大时， 也趋近于正无穷大，故 不存在最大值，故A不正确；
对于B，由 ，得 ，又 ，所以 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以当 或 时， 取得最大值，故B正确；
对于C，由 ， ，得 ， ， ，
，又 ， 递减，所以当 时， 取最大值，故C正确；
对于D，由 ， ，得 ， ， ， ，
所以数列 的周期为 ，故 不存在最大值，故D不正确.
故选：BC
12．正方体 中，M是正方形 的中心，P为线段 上一动点，下列结论中
正确的是（ ）
A． ；
B．直线 与直线 所成角的余弦值为 ；
C．不存在点P使得 平面 ；
D．三棱锥 的体积为定值．
【答案】ABD
【分析】A选项，由三线合一证明出线线垂直；B选项，作出辅助线，找到异面直线的夹角，利用
余弦定理求出答案；C选项，找到点P的位置，使得 平面 ，C不正确；D选项，利用等
体积法得到 ，由面积和 为定值得到体积为定值.
【详解】设正方体的边长为 .
A选项，在三角形 中， ， 是 的中点，所以 ，所以A正确.
B选项，设 是 的中点，连接 ，则 ，
所以 是异面直线 与直线 所成角（或其补角），
在三角形 中， ，
所以 ，
所以异面直线 与直线 所成角的余弦值为 ，B正确.
C选项，根据正方体的性质可知 ，
由于 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理可证得 平面 ，
由于 平面 ，
所以平面 平面 ，
当 时， 平面 ，所以 平面 .
即存在点P使得 平面 ，C不正确.
D选项， ，
其中 和 为定值，所以三棱锥 的体积为定值，所以D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若 ， ，且 ，则 与 的夹角为 ；
【答案】
【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得 ，然后即可求出 ，进而得出
答案.
【详解】由已知可得， ，
所以， ，
所以， .
又 ，所以 .
故答案为： .
14．双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则它的离心率为
．
【答案】 .【分析】由直线平行则斜率相等，求得 之间的等量关系，再求离心率即可.
【详解】因为渐近线与直线 平行，
故可得 ，根据双曲线离心率的计算公式可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.
15．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的
零点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，
从而得解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
16．若曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，则
.【答案】
【分析】根据导数几何意义可分别用 表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简
得到 ，代入所求式子整理即可.
【详解】 ， ， 切线斜率 ，
切线方程可记为： 或 ，
， ，
则 ，易得 ， ，
.
故答案为： .
三、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换对原式化简，结合三角形的内角和为 ，即可求解；
（2）根据面积公式求得 ，再利用余弦定理以及基本不等式可得出 的取值范围，即可得解.
【详解】（1）由题意知，原式可化为 ，
即 .
整理可得： ，即 .
又因为 ，则 ，
所以 ，故 .
（2）因为 ，所以 ，
由余弦定理和基本不等式可得：
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，故 的最小值为 .
18．已知等比数列 ，等差数列 的公差 ，且 ， ， ， ．
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设数列 对任意 ，均有 成立，求 的通项公式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据已知列出关系式，求解得出 ，进而得出
的通项公式.然后求出 的项，进而得出 ，即可得出 的通项公式；（2）根据前n项和公式以及通项之间的关系，即可得出 ，从而得出 ，
得出 的表达式，然后求出 的值，检验即可得出答案.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由题意， ， ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，或 （舍去），
所以 .
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
（2）由题意， ，①
，②
② ①得 ，
所以 ，
所以 .
当 时，由 可得 不满足上式.所以 ．
19．如图，已知四边形 与 均为直角梯形，平面 平面EFAD， ，
， 为 的中点， .
(1)证明： ， ， ， 四点共面；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ,根据中位线结合已知得出四边形 与四边形
是平行四边形，即可得出 ，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系 ，得出相应各点坐标，得出相应向量，即可根据平面法向量求法
得出平面 与平面 的法向量，即可根据二面角的向量求法得出答案.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， .
因为 为 的中点， 为 的中点，且 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 且 .又因为 ，且 ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ， .
所以 ， ，
所以 ， ， ， 四点共面.
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ，所以 平面 .
如图，以B为原点，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ， ，所以 .
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 .
20．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）
和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断， 与 （其中 …为自然对数的底数）哪一个更适合作为
平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中 ， ，
参考数据（ ）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数
占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚
子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红
蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益
（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，
费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】(1) 更适宜(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归
方程类型；
（2）将 两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类
型.
（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
由题中的数据可得， ， ，
所以 ，
则 ，
所以z关于x的线性回归方程为 ，
故y关于x的回归方程为 ；
（3）用 ， 和 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 万，
如果发生，则收益为 万，即 ，
同样，采用第3种方案，有所以， ，
，
.
显然， 最大，所以选择方案1最佳.
21．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，点 为椭圆 上异于 ， 的一
点，且直线 ， 的斜率之积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 过右焦点 与椭圆 交于 ， 两点（ ， 与 不重合）， 不与 轴垂直，若
，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设出 点的坐标，根据 点在椭圆上以及 ， 的斜率之积为 ，列出方程，
即可求得椭圆 的标准方程；
（2）设出直线 的方程以及 ， 点的坐标，与椭圆方程联立，消去 ，利用韦达定理得出
与 的值，再根据 列出方程，即可解出直线的斜率，从而利用弦长公式
求得 .
【详解】解：（1）设 ，
由题意知： ， ，，
，
解得： ，
椭圆 的标准方程为 ；
（2）根据题意，设 ， ，直线 ，
由 ，
消去 并整理得： ，
则 ，
即 ， ，
， ，，
又 ，
由 ，得： ，
解得： ，
， ，
故 .
22．已知函数 ．
(1)若 ，求 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)最小值为 ，最大值为 ．
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值；
（2）求出函数的导函数，分 、 、 、 、 五种情况讨论，结合函数的
单调性与零点存在性定理判断即可.
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递增， ，故 即 在 上单调递增， ，
故 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，最大值为 ．
（2）由 可得 ．
①当 时， ，又 ， ， 恰有1个零点；
②当 时，由 得 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值 ，
又 ，当 时， ，故 有2个零点；
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， 的极小值
，
极大值 ，
又当 时， ， 有1个零点；
④当 时，由 可得 或 ，由 可得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值 ，极小值 ，
又当 时， ， 有1个零点；⑤当 时， ， ，
单调递增， ， 有1个零点．
综上可知，当 时， 有2个零点；当 时， 有1个零点．
