文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试（七省新高考）
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．设i为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．“ ”是“方程 表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布 ．估计该校高三年级
本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若 ，则 ，．
A．75人 B．77人 C．79人 D．81人
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有
趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，河岸
线所在直线方程为 ，若将军从点 处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回
到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， ， ， 均为所在棱的中点，则
下列结论正确的是（ ）
A．棱 上一定存在点 ，使得
B．设点 在平面 内，且 平面 ，则 与平面 所成角的余弦值的
最大值为
C．过点 ， ， 作正方体的截面，则截面面积为
D．三棱锥 的外接球的体积为8．定义在区间 上的函数 满足： 对 恒成立，其中
为 的导函数，则
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知一组样本数据 ，其中 （ ，2，…，15），由这组数据得到另一组新的
样本数据 ， ，…， ，其中 ，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C． ， ，…， 样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
10．若函数 （ ， ， ）的图象如图，且 ， ，
则下列说法正确的是（ ）A．函数 的周期为5
B．函数 的对称轴为 ，
C．函数 在 内没有单调性
D．若将 的图象向左平移 （ ）个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称，则
的最小值为1
11．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则下列说法
一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 为偶函数 D．函数 的图象关于 对称
12．已知 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，过点 的两条互相垂直
的直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和 ， ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ，
，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量 是单位向量，且 与 垂直， 与 的夹角为135°，则 ．
14．已知正四棱台 中， ， ，则其体积为 .15．试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
16．已知各项都不为0的数列 的前 项和 满足 ，其中 ，设数列 的前
项和为 ，若对一切 ，恒有 成立，则 能取到的最大整数是 .
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， ．
(1)求cosB；
(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为 ，求a．
18．设同时满足条件：① ；② ， 是常数）的无穷数列 叫做 数
列，已知数列 的前 项和 满足 为常数，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 为等比数列，求 的值；并证明数列 为 数列．
19．四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ， ，
，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)若 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，点 在线段 上且满足 ，
求二面角 的余弦值．
20．击鼓传花，也称传彩球，是中国古代传统民间酒宴上的助兴游戏，属于酒令的一种，又称“击
鼓催花”，在唐代时就已出现．杜牧《羊栏浦夜陪宴会》诗句中有“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛
艳光”，可以得知唐代酒宴上击鼓传花助兴的情景．游戏规则为：鼓响时，开始传花(或一小物件)，
鼓响时众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中(或其序位前)，谁就上台表演节目(多是唱
歌、跳舞、说笑话：或回答问题、猜谜、按纸条规定行事等)．某单位组织团建活动，9人一组，
共9组，玩击鼓传花，组号 （前五组）与组内女性人数 统计结果如表：
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 4 4
若女性人数 与组号 (组号变量 依次为1，2，3，4，5，…)具有线性相关关系．(1)请求出女性人数 关于组号 的回归直线方程；（参考公式 ， ）
(2)从前5组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于3人的有 组，求 的分布列与期望．
21．已知双曲线 ： 的离心率为 ，直线 ： 与双曲线C仅有一
个公共点.
(1)求双曲线 的方程
(2)设双曲线 的左顶点为 ，直线 平行于 ，且交双曲线C于M，N两点，求证： 的垂心
在双曲线C上.
22．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时， 恒成立．
