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2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（新高考 I 卷）·参考答案
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C C B C A A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AB ABC ABD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．16
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) (2)
（2）利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，数列 为等比数列，
所以 ， ，则 ，……………………………………1分
即 是以 为首项， 为公比的等比数列，…………………………………2分
所以 ，……………………………………………………………………3分
则 .……………………………………………………………5分（2）
…………………………………………6分
……………………………7分
.……………………………10分
18.（12分）
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解法一：因为 ，由正弦定理得 ，……………1分
可得 ，即 ，……………………………………………………2分
又因为 ，由余弦定理得 ，即 ，………………3分
联立方程组 ，可得 ，即 ，所以 ，………………4分
由余弦定理定理得 ，………………………………5分
因为 ，所以 .………………………………………………………………6分
解法二：因为 ，由正弦定理得 ，…………1分
整理得 ，…………………2分
又因为 ，可得 ，所以 ，…………3分
即 ，可得 ，即 ，…………4分
因为 ，所以 ，……………………………5分
所以 ，所以 .………………………………………………………6分（2）由（1）知 ，可得 ，且 ，
所以 ，……………………………………………8分
由三角形三边关系，可得 ，可得 ，……………………………………………9分
令 ，可得 ，其中 ，……………………………………………10
分
所以函数 ，……………………………………………11分
所以 ，所以 的取值范围是 .……………………………………………12分
19．（12分）
【答案】(1)见详解；(2)存在点 使得 与平面 夹角的正弦值为 ，点 到平面 距
离的最小值为
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，则 ，
所以四边形 是菱形， 是正三角形，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，………………………………………2分
因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，……………………………………………………………3分
又因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，因为 平面 ，………………………………………4分
所以平面 平面 ………………………………………5分
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，………………………………………6分
设 ，
所以 ， ， ，…………………………7分
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
所以 ，取 得： ，………………………………………8分
所以 ， ，
因为 与平面 夹角的正弦值为 ，所以 ，……………………9分
即： ，所以 ，所以 ………………………………………10分
由点到平面的距离公式得： ，
………………………………………11分
所以当 时，点 到平面 距离的最小，最小值为 ………………12分
20．（12分）
【答案】(1) ， 上递减(2)
【详解】（1）由已知得 ，………………………………………2分
故函数 在 ， 上单调递减；………………………………………4分
（2）由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，…………………5分
设 ，
则 ，………………………………………7分
令 ，得 ，令 ，得 ，……………………………8分
即 在 上单调递减，在 上单调递增，…………………………9分
所以 ，………………………………………11分
所以 .……………………………………………………………………………12分
21．（12分）
【答案】(1)有 的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关(2)（i）分布列见解析， ；（ii）证明见解析
【详解】（1）依题意，完善 列联表如下，
速度
性
合计
别
快 慢
男
65 35 100
生
女
45 55 100
生
合
110 90 200
计
………………………………………………………………1分
所以 .…………………………………2分
故有 的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.…………………………3分
（2）（i）由题知，随机变量 的所有可能取值为 ，
………………………………………………………………4分
…………………………………………………5分
，……………………………………………………………6分
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .…………………………………………………7分（ii）不妨令绳头编号为 ，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有
种可能，
假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下 根绳子进行打结，
令 根绳子打结后可成圆的种数为 ，
那么经过一次打结后，剩下 根绳子打结后可成圆的种数为 ，
由此可得， ，……………………………………………………………8分
所以 ，…………………………………………………9分
所以 ，
显然 ，故 ；……………………………………………………………………10分
另一方面，对 个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；………………………………11分
所以 .…………………………………………………………12分
22．（12分）
【答案】(1) (2)是， (3) ．
【详解】（1）因为线段 的中垂线交线段 于点 ，则 ，
所以， ，……………………………………………………1分由椭圆定义知：动点 的轨迹为以 、 为焦点，长轴长为 的椭圆，
设椭圆方程为 ，则 ， ， ， ，……………2分
所以曲线 的方程为 ………………………………………………………………3分
（2）设 ， ，直线 ： ；
， 到直线 的距离 ，
所以 ………………………………………5分
另一方面，因为 ， 是椭圆 上的动点，
所以可设 ， ， ，
由 ，得 ，
为定值.……………………………………………………………6分
（3）设 ， ， ，代入 ： 得 ，所以曲线 的方程为 .………………………7分
由 知 ，同理 ， ，………………………8分
设 ，
①当直线 有斜率时，设 ： ，
代入椭圆 的方程得： ，
， ，
…………………………………………………………………9分
将 ： 代入椭圆 的方程得： ，
与椭圆 有公共点 ， 由 得： ，
令 ，则 ，
．………………………………………………………………10分
②当 斜率不存在时，设 ： ，代入椭圆 的方程得： ，，……………………………………………11分
综合①②得 面积的最大值为 ，
所以 面积的最大值为 ．…………………………………………………………………12分
