文档内容
吉林、黑龙江两省十校联合体 2025-2026 学年高二上学期期中考试数
学试卷
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，请将答题卡上交．
4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若 ，则 （ ）
A. 7 B. 11 C. 22 D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】计算 的坐标，再利用数量积的坐标运算求出.
【详解】由 ，得 ，
所以 .
故选：A．
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.【答案】C
【解析】
【分析】先根据直线得出斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】由 化为 ，
即该直线斜率为 ，所以其倾斜角为 ．
故选:C．
3. 已知点 ，则以线段 为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心和半径即可求解.
【详解】因为AB为直径，则 的中点为 ，
所以圆心为 ，半径 ，
所以圆的方程为
故选：A．
4. 如图所示，在平行六面体 中，点 为上底面对角线 的中点，若
，则（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意
，
又 ，所以 ， .
故选：C
5. 已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影向量为 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.
【详解】由题意可知 ， ，所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A
6. 已知圆 与圆 有4条公切线，则实数 的取值范围是
（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得： 。
【详解】根据题意可知，圆 外离， ，又 ．
故选：D
7. 在空间直角坐标系中，已知 ，则点A到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可.
【详解】 ， ，
.
故选：A.
8. 已知实数 满足 ，且 ，则 的取值范围为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到点 在线段 上移动，且 ， ，设 ，利用斜率公
式，求得 的值，进而求得 的取值范围，得到答案.
【详解】由题意知，点 满足关系式 ，且 ，
可得点 在线段 上移动，且 ， ，如图所示，
设 ，则 ，
因为点 在线段 上，所以 的取值范围是 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 与 交于点 ，则（ ）
A.B.
C. 点 到直线 的距离为
D. 点 到直线 的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求 到直线 的
距离即可.
【详解】由题意，得： ，解得 ， ，故A、B正确，
∴ 到直线 的距离 ，故C错误，D正确.
故选：ABD.
10. 在平面直角坐标系xOy中，过直线 上任一点P作圆O： 的两条切线，切点分
别为A、B，则下列说法正确的是（ ）
A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为
B. 的取值范围为
C. 不可能为钝角
D. 当 为等边三角形时，点P的坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先结合点到直线的距离公式分析出 的取值范围，进而数形结合分析可得 和 的
范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求
出点P的坐标，即可判断D的正误.【详解】
到直线 的距离为 ，当 垂直于直线 时，可求得点 ，
此时 ，所以当点 自由移动时， 的最小值为 ，当且仅当 垂直于直线
时，取得最小值，所以对于任意的点 ，有 ，因为 ，所以 ，所
以 ，同理 ，所以 ， ，故 ，而
， 趋于0时， 趋于 ，故 的取值范围为 ，当四边形 为
正方形时， ，可求得 ，点 的坐标有唯一解 ，故A、B、C正
确；当 为等边三角形时， ，所以 ，设 ，因为点 在直线
上，则 ，解得 或 ，即 或 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中
含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，点 是底面 内的一点（包括边界），且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 的轨迹长度为
B. 点 到平面 的距离是定值
C. 直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得
的轨迹长度；选项B：可以证得 平面 ，结合 平面 ，所以点 到平面 的
距离是定值；选项C：要求直线 与平面 所成角的正切值的最大值，则求得 在平面 的
投影为 ，当 取得最小值时，直线 与平面 所成角的正切值最大；选项D：要求 的最
小值，则利用 到直线 的距离为 ，当点 落在 上时，求得 的最小值.
【详解】对于A，因为 ，即 ，所以 ，
即点 在底面 内是以 为圆心､半径为1的 圆上，
所以点 的轨迹长度为 ，故A错误；对于B，在正方体 中， ，
又 平面 ，所以 平面 ，
所以点 的轨迹为线段 ，
又 平面 ，所以点 到平面 的距离是定值，故B正确；
对于C，因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，
因为点 到 的距离为定值2，记点 在平面 的投影为 ，
所以当 取得最小值时，直线 与平面 所成角的正切值最大，
又 ，
所以直线 与平面 所成角的正切值的最大值为 ，故C正确；
对于D， 到直线 的距离为 ，
当点 落在 上时， ，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知在空间直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点A与点C关于
x轴对称，则 ___________.
【答案】
【解析】【分析】首先根据对称求出点 的坐标，然后根据两点间的距离公式求 的值即可.
【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点 的坐标为 ，
又因为点B的坐标为 ，所以 ．
故答案为： .
13. 过点 作圆 的切线，则切线方程为___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切
线方程.
【详解】①直线的斜率不存在时 满足，
②直线斜率存在时，设切线方程 ，则 ，
为
所以切线方程为 ，即 ．
为
故答案 ： 或 .
14. 已知圆 ： 的图象在第四象限，直线 ： ， ： .
若 上存在点 ，过点 作圆 的切线 ， ，切点分别为A， ，使得 为等边三角形，则 被
圆 截得的弦长的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可推得 的范围，以及 与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得 ，求解结合 的范围可得出 .然后表示出圆
心到直线 的距离，根据不等式的性质，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，圆 的圆心 ，半径 ，且有 .
则圆心到直线 ： 的距离 .
又直线 方程可化为 ，可知 ， ，
所以直线 过一、二、三象限，不过第四象限，直线 与圆相离.
由题意易知 ，则 ， ，
所以有 ，即 ，所以 .
又 ， ，所以 ， ，所以 .
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以，直线 与圆 总相交，
又 ，所以 被圆 截得的弦长为 .故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据已知得出 的范围，然后根据直线的斜截式方程得出 与圆的位置关系.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知 的顶点坐标是 ， 为 的中点．
（1）求中线 的方程；
（2）求经过点 且与直线 平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，求得 ，再由直线方程的两点式，即可求解；
（2）根据条件，求出直线过点 且与直线 平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可
求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
所以 的方程是 ，
即 .
【小问2详解】
因为直线 的斜率 ，
所以经过点 且与直线 平行的直线方程为 ，即 ，
设其与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
故经过点 且与直线 平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为 ．
16. 已知向量 ．
（1）若 ，求实数k；
（2）若向量 与 所成角为锐角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解；
（2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
解得 ；
【小问2详解】
因为向量 与 所成角为锐角，所以 ，且 与 不同向共线．
由（1）知， ，
若向量 与 同向共线，则存在 ，使得 ，即
，
{1−k=−λ
)
可得 k=3λ ，解得 ，若两个向量不同向共线，则 ，
2=4λ
故 ，解得 且 ，
即 的取值范围为 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， 平面
ABCD，Q为线段PD上的点， ， ， ．
（1）证明： 平面ACQ；
（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】【分析】（1）利用三角形相似得 ，结合 ，则有 ，利用线面平行的判定
即可证明；
（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法
即可得到答案.
【小问1详解】
如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，
∵ ， ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
平面ACQ， 平面ACQ，∴ 平面ACQ；
【小问2详解】
平面 ， 平面 , ，
因为底面 ,则AB，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
各点坐标如下： ， ， ， ．
设平面ACQ的法向量为 ，由 ， ，有 ，令 ， ， ，可得
，
由 ，有 ， ，
则 ．
故直线PC与平面ACQ所成角 的正弦值为 ．
18. 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点， 为棱 上一点，且异面
直线 与 所成角的余弦值为 .
（1）证明： 为 的中点；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，不妨令正方体的棱长为2，设，利用 ，解得 ，即可证得；
（2）分别求得平面 与平面 法向量 ，利用 求解即可.
的
【小问1详解】
证明：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
不妨令正方体的棱长为2，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，解得 （ 舍去），即 为 的中点.
【小问2详解】
由（1）可得 ， ，
设 是平面 的法向量，
则 .令 ，得 .
易得平面 的一个法向量为 ，
所以 .
所以所求锐二面角的余弦值为 .19. 如图，已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 引圆 的两条
切线，切点分别为 ， .
（1）求直线 的方程，并写出直线 所经过的定点的坐标；
（2）求线段 中点的轨迹方程；
（3）若两条切线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，求 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出以 为圆心， 为半径的圆 的方程，再根据线段 为圆 和圆 的公共弦，将
两圆的方程相减可得直线 的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；
（2）设 的中点为 点，直线 过的定点为 点，根据几何性质可得 始终垂直于 ，进而求
得方程即可；
（3）设切线方程为 ，根据直线与圆相切化简可得 ，设 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， 为 的两根，表达出 ，再代入韦达定理，结
合函数的范围求解即可.
【小问1详解】
圆 即 ，则 ，半径 ，
所以 ， ，则 ，
故以 为圆心， 为半径的圆 的方程为 ，
显然线段 为圆 和圆 的公共弦，
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 ，解得 ，所以直线 过定点 ；
【小问2详解】
因为直线 过定点 ， 的中点为直线 与直线 的交点，
设 的中点为 点，直线 过的定点为 点，
易知 始终垂直于 ，所以 点的轨迹为以 为直径的圆，
又 ， ，故该圆圆心 ，半径为 ，且不经过 .
点 的轨迹方程为 ，即线段 中点的轨迹方程为
；【小问3详解】
设切线方程为 ，即 ，
故 到直线 的距离 ，即 ，
设 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， ，
把 代入 ，得 ，
则 ，
