文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（新高考Ⅱ卷）·参考答案
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B C D C D D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BCD AB AC ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
❑√2
13．56 14． 15．②④ 16．(❑√2,2❑√2)
3
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】【答案】(1)a =-3×2n (2)-36672
n
【详解】（1）因为S +S +a =3a ，则当n≥2时，S +S +a =3a ，
n+1 n 2 n+1 n n-1 2 n
两式相减可得a +a =3a -3a (n≥2)，则a =2a (n≥2)，…………………………3分
n+1 n n+1 n n+1 n
S +S +a
且当n=1时， 2 1 2=3，解得a =2a ，
a 2 1
2
所以{a }是首项为-6，公比为2的等比数列，………………………………………………………5分
n
所以a =-6×2n-1=-3×2n ，
n
即a =-3×2n ；………………………………………………………………………………………5分
n（2）因为b +b +b =a +3n-2=-3×2n+3n-2，…………………………7分
3n 3n-1 3n-2 n
则T =(b +b +b )+(b +b +b )+⋯+(b +b +b )-b
35 1 2 3 4 5 6 34 35 36 36
12×11
=-3×(21+22+⋯+212)+1×12+ ×3-(2×12-a )
2 12
2(1-212)
=-3× +210-(24+3×212)=-36672.………………………………………………10分
1-2
18.（12分）
π
【答案】(1)C= (2)1
6
【详解】（1）由题意知，原式可化为2cos(A-B)=4sinAsinB-❑√3，
即2(cosAcosB+sin AsinB)=4sinAsinB-❑√3.…………………………………………2分
❑√3
整理可得：2cos(A+B)=-❑√3，即cos(A+B)=- .………………………………4分
2
又因为A+B+C=π，则00，解得02❑√3，或t<-2❑√3.……………………………………………………6分
当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+3,A(x ,y ),B(x ,y )，.
1 1 2 2
由¿消去x并整理，得(4+m2)y2+6my-3=0，
6m 3
则y + y =- ,y y =- .…………………………………………………………………8分
1 2 4+m2 1 2 4+m2
因为∠OPA=∠OPB，所以k +k =0，
PA PB
y y
所以 1 + 2 =0，即y (x -t)+ y (x -t)=0.
x -t x -t 1 2 2 1
1 2
所以y (m y +3-t)+ y (m y +3-t)=0，
1 2 2 1
即2m y y +3(y + y )-t(y + y )=0，
1 2 1 2 1 2
6m 18m 6mt 6m(t-4)
- - + = =0恒成立，…………………………………………………10
4+m2 4+m2 4+m2 4+m2
分
6m(t-4)
即对∀m∈R， =0恒成立，则t=4，即P(4,0).
4+m2
又点P(4,0)满足条件t>2❑√3.
综上所述，故存在定点P(4,0)，使∠OPA=∠OPB.…………………………………………………
12分
22．（12分）
【答案】(1)a=-2 (2)证明见解析
ex ex(x-1)
【详解】（1）解：因为f (x)= ，则f'(x)= ，直线l 的斜率k =f'(1)=0，…1分
x x2 1 1因为g(x)=asinx，则g'(x)=acosx，直线l 的斜率k =f'(0)=a，
2 2
直线l 的方程为y=ax，
2
又两直线l 、l 夹角的正切值为2，故a=±2，……………………………………………3分
1 2
令φ(x)=asinx-ax=a(sinx-x)，则φ'(x)=a(cosx-1)，
当a=2时，φ'(x)≤0恒成立，当且仅当x=2kπ(k∈N*)时，等号成立，
此时，函数y=φ(x)在(0,+∞)上单调递减，故φ(x)<φ(0)=0，不满足题意；
当a=-2时，φ'(x)≥0恒成立，当且仅当x=2kπ(k∈N*)时，等号成立，
此时，函数y=φ(x)在(0,+∞)上单调递增，故φ(x)>φ(0)=0，满足题意.
综上所述，a=-2.………………………………………………………………………………5分
ex
（2）证明：由（1）知a=-2，故F(x)= -2sinx，x∈(-π,0).
x
(x-1)ex-2x2cosx
F'(x)=
，…………………………………………………………………………6分
x2
当x∈ [ - π ,0 ) 时，(x-1)ex<0，x2cosx≥0，F'(x)<0，
2
故F(x)在 [ - π ,0 ) 上单调递减，………………………………………………………………7分
2
π π
当x∈ (-π,- ) 时，令h(x)=(x-1)ex-2x2cosx，x∈ (-π,- ) ，
2 2
h'(x)=xex-4xcosx+2x2sinx=x(ex-4cosx+2xsinx)，
π
ex>0，cosx<0，xsinx>0，则h'(x)<0，故h(x)在 (-π,- ) 上单调递减，…………8分
2
因为h(-π)=2π2- π+1 >0，h (- π )=(- π -1 )e - π 2 <0，则h(-π)h (- π )<0，
eπ 2 2 2
π
由零点存在性定理知：h(x)在
(-π,- )
上有唯一零点，…………………………………9分
2
π
即F'(x)在 (-π,- ) 上有唯一零点，该零点即为x ，
2 0
当x∈(-π,x )时，h(x)>0，即F'(x)>0，
0π
当x∈ ( x ,- ) 时，h(x)<0，即F'(x)<0，……………………………………………10分
0 2
又x∈ [ - π ,0 ) 时，F'(x)<0，故F(x)在(-π,x )单调递增，在(x ,0)单调递减，
2 0 0
π
( )
则当x∈ (-π,- π ) 时，F(x )>F (- π )=2- 2 = 2 πe2 -1 >0，
2 0 2 π π
πe2 πe2
因为x ∈ (-π,- π ) ，则F(x )= ex 0 -2sinx <-2sinx <2，
0 2 0 x 0 0
0
故x 是函数F(x)在(-π,0)上的唯一的极大值点，且0
