2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（新高考Ⅱ卷）·参考答案
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B C D C D D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BCD AB AC ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
❑√2
13．56 14． 15．②④ 16．(❑√2,2❑√2)
3
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】【答案】(1)a =-3×2n (2)-36672
n
【详解】（1）因为S +S +a =3a ，则当n≥2时，S +S +a =3a ，
n+1 n 2 n+1 n n-1 2 n
两式相减可得a +a =3a -3a (n≥2)，则a =2a (n≥2)，…………………………3分
n+1 n n+1 n n+1 n
S +S +a
且当n=1时， 2 1 2=3，解得a =2a ，
a 2 1
2
所以{a }是首项为-6，公比为2的等比数列，………………………………………………………5分
n
所以a =-6×2n-1=-3×2n ，
n
即a =-3×2n ；………………………………………………………………………………………5分
n（2）因为b +b +b =a +3n-2=-3×2n+3n-2，…………………………7分
3n 3n-1 3n-2 n
则T =(b +b +b )+(b +b +b )+⋯+(b +b +b )-b
35 1 2 3 4 5 6 34 35 36 36
12×11
=-3×(21+22+⋯+212)+1×12+ ×3-(2×12-a )
2 12
2(1-212)
=-3× +210-(24+3×212)=-36672.………………………………………………10分
1-2
18.（12分）
π
【答案】(1)C= (2)1
6
【详解】（1）由题意知，原式可化为2cos(A-B)=4sinAsinB-❑√3，
即2(cosAcosB+sin AsinB)=4sinAsinB-❑√3.…………………………………………2分
❑√3
整理可得：2cos(A+B)=-❑√3，即cos(A+B)=- .………………………………4分
2
又因为A+B+C=π，则0<C<π，
❑√3 π
所以cosC= ，故C= .………………………………………………………………6分
2 6
1 1 2+❑√3
（2）因为S = absinC= ab= ，所以ab=2+❑√3，……………………8分
△ABC 2 4 4
由余弦定理和基本不等式可得：
c2=a2+b2-2ab⋅cosC=a2+b2-❑√3ab≥2ab-❑√3ab=(2-❑√3)ab=1，…………10分
❑√6+❑√2
当且仅当a=b=❑√2+❑√3= 时，等号成立，…………………………………………11分
2
所以c≥1，故c的最小值为1.……………………………………………………………………12分
19．（12分）
3❑√2 ❑√2
【答案】(1)证明见解析 (2) 或
10 2
AB ❑√3
∵tan∠ADB= = =❑√2 BC ❑√6
【详解】（1） AD ❑√6 ，tan∠CAB= = =❑√2，
AB ❑√3
2π
∵∠ADB,∠CAB∈(0, )
2
∴∠ADB=∠CAB，………………………………………………………………………………1分
π
∴∠ADB+∠MAD=∠CAB+∠MAD=
，
2
∴AC⊥BD，……………………………………………………………………………………3分
即AM⊥BD，CM⊥BD，
∴PM⊥BD，CM⊥BD，又PM∩CM=M，
PM,CM⊂平面PMC， ∴BD⊥平面PMC，
PC⊂平面PMC，
∴BD⊥PC；……………………………………………………………………………………5分
（2）直角△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=3，
∵AD∥BC，
AM AD DM 1
∴ = = = ，
CM BC BM 2
∴AM=1，CM=2，BM=❑√AB2-AM2=❑√3-1=❑√2，
3❑√2 ❑√2
则BD= ,MD= …………………………………………………………………………6分
2 2
由（1）BD⊥平面PMC，
以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，
( ❑√2 )
则B(❑√2,0,0)，C(0,2,0)，D - ,0,0 ，
2
设P(0,cosθ,sinθ)，其中0<θ<π，
所以⃗MB=(❑√2,0,0)，⃗CB=(❑√2,-2,0)，⃗BP=(-❑√2,cosθ,sinθ)，………………8分设平面PBD的一个法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
1 1 1
则¿，
取y =sinθ，⃗n=(0,sinθ,-cosθ)，
1
设平面PBC的一个法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
2 2 2
则¿，
取y =sinθ，则⃗m=(❑√2sinθ,sinθ,2-cosθ)，……………………………………10分
2
|⃗n⋅⃗m| | 1-2cosθ | ❑√7
|cos⟨⃗m,⃗n⟩|= = =
，
|⃗n||⃗m| ❑√3sin2θ+(2-cosθ) 2 7
4 3
解得cosθ= ，sinθ= 或cosθ=0，sinθ=1.
5 5
( 4 3)
则P 0, , 或P(0,0,1)
5 5
1 1 1 3❑√2 ❑√2
故V = S ⋅|z |= ( ⋅BD⋅MC)⋅|z |= 或 .
P-BCD 3 △BCD P 3 2 P 10 2
………………………………………12分
20．（12分）
【答案】(1)p =0.8 (2)①最多有16件；②加工费最高为47.5元
0
【详解】（1）由题意可知，这种精密配件的不合格率为1-p，则加工后的30件这种精密配件中
恰有6件不合格的概率f (p)=C6 (1-p) 6p24(0<p<1)，………………………………1分
30
则f'(p)=-6C6 (1-p) 5p24+24C6 (1-p) 6p23=6C6 (1-p) 5p23(4-5p)，
30 30 30
令f'(p)>0，解得0<p<0.8，令f'(p)<0，解得0.8<p<1，……………………3分
所以f (p)在(0,0.8)上单调递增，在(0.8,1)上单调递减，………………………………4分
所以当p=0.8时，f (p)取得极大值，故p =0.8．…………………………………………5分
0
（2）①从加工后的这种精密配件中随机抽取一件为优等品的概率为0.8×0.5=0.4．
设从加工后的这种精密配件中随机抽取n件，由题意可知，X∼B(n,0.4)，
且P(X=k)=Ck0.4k×(1-0.4) n-k
，
n由题意可知，¿，
即¿，
解得14≤n≤16.5，
又n∈N，所以n的最大值为16，
故抽取的这种精密配件最多有16件．…………………………………………………………………8
分
②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元，加工费与复修费均为m元，
由题意可知，Y的可能取值为150-m,100-m,100-2m,-30-2m，
………………………………………………………9分
则随机变量Y的分布列为
Y 150-m 100-m 100-2m -30-2m
P 0.4 0.4 0.1 0.1
则E(Y)=0.4(150-m)+0.4(100-m)+0.1(100-2m)+0.1(-30-2m)=107-1.2m，
由题意可知，107-1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一个配件的加工费最高为47.5元．……12分
21．（12分）
x2 y2
【答案】(1) + =1 (2)存在，P(4,0)
12 3
c √ b2 ❑√3
【详解】（1）因为e= =❑1- = ，所以a=2b.
a a2 2
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.……………………………………………………………2分
4b2 b2
9
( 3)
因为点 -❑√3,- 在椭圆C上，所以 3 4 ，解得b2=3，
2 + =1
4b2 b2
所以a2=12.
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1.………………………………………………………………4分
12 3
（2）存在定点P(4,0)，使∠OPA=∠OPB.理由如下：
由（1）知，c2=12-3=9，则点F(3,0).
设在x轴上存在定点P(ι,0)，使∠OPA=∠OPB成立.当直线l斜率为0时，直线右焦点F的直线l即x轴与C交于长轴两端点，
若∠OPA=∠OPB，则t>2❑√3，或t<-2❑√3.……………………………………………………6分
当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+3,A(x ,y ),B(x ,y )，.
1 1 2 2
由¿消去x并整理，得(4+m2)y2+6my-3=0，
6m 3
则y + y =- ,y y =- .…………………………………………………………………8分
1 2 4+m2 1 2 4+m2
因为∠OPA=∠OPB，所以k +k =0，
PA PB
y y
所以 1 + 2 =0，即y (x -t)+ y (x -t)=0.
x -t x -t 1 2 2 1
1 2
所以y (m y +3-t)+ y (m y +3-t)=0，
1 2 2 1
即2m y y +3(y + y )-t(y + y )=0，
1 2 1 2 1 2
6m 18m 6mt 6m(t-4)
- - + = =0恒成立，…………………………………………………10
4+m2 4+m2 4+m2 4+m2
分
6m(t-4)
即对∀m∈R， =0恒成立，则t=4，即P(4,0).
4+m2
又点P(4,0)满足条件t>2❑√3.
综上所述，故存在定点P(4,0)，使∠OPA=∠OPB.…………………………………………………
12分
22．（12分）
【答案】(1)a=-2 (2)证明见解析
ex ex(x-1)
【详解】（1）解：因为f (x)= ，则f'(x)= ，直线l 的斜率k =f'(1)=0，…1分
x x2 1 1因为g(x)=asinx，则g'(x)=acosx，直线l 的斜率k =f'(0)=a，
2 2
直线l 的方程为y=ax，
2
又两直线l 、l 夹角的正切值为2，故a=±2，……………………………………………3分
1 2
令φ(x)=asinx-ax=a(sinx-x)，则φ'(x)=a(cosx-1)，
当a=2时，φ'(x)≤0恒成立，当且仅当x=2kπ(k∈N*)时，等号成立，
此时，函数y=φ(x)在(0,+∞)上单调递减，故φ(x)<φ(0)=0，不满足题意；
当a=-2时，φ'(x)≥0恒成立，当且仅当x=2kπ(k∈N*)时，等号成立，
此时，函数y=φ(x)在(0,+∞)上单调递增，故φ(x)>φ(0)=0，满足题意.
综上所述，a=-2.………………………………………………………………………………5分
ex
（2）证明：由（1）知a=-2，故F(x)= -2sinx，x∈(-π,0).
x
(x-1)ex-2x2cosx
F'(x)=
，…………………………………………………………………………6分
x2
当x∈ [ - π ,0 ) 时，(x-1)ex<0，x2cosx≥0，F'(x)<0，
2
故F(x)在 [ - π ,0 ) 上单调递减，………………………………………………………………7分
2
π π
当x∈ (-π,- ) 时，令h(x)=(x-1)ex-2x2cosx，x∈ (-π,- ) ，
2 2
h'(x)=xex-4xcosx+2x2sinx=x(ex-4cosx+2xsinx)，
π
ex>0，cosx<0，xsinx>0，则h'(x)<0，故h(x)在 (-π,- ) 上单调递减，…………8分
2
因为h(-π)=2π2- π+1 >0，h (- π )=(- π -1 )e - π 2 <0，则h(-π)h (- π )<0，
eπ 2 2 2
π
由零点存在性定理知：h(x)在
(-π,- )
上有唯一零点，…………………………………9分
2
π
即F'(x)在 (-π,- ) 上有唯一零点，该零点即为x ，
2 0
当x∈(-π,x )时，h(x)>0，即F'(x)>0，
0π
当x∈ ( x ,- ) 时，h(x)<0，即F'(x)<0，……………………………………………10分
0 2
又x∈ [ - π ,0 ) 时，F'(x)<0，故F(x)在(-π,x )单调递增，在(x ,0)单调递减，
2 0 0
π
( )
则当x∈ (-π,- π ) 时，F(x )>F (- π )=2- 2 = 2 πe2 -1 >0，
2 0 2 π π
πe2 πe2
因为x ∈ (-π,- π ) ，则F(x )= ex 0 -2sinx <-2sinx <2，
0 2 0 x 0 0
0
故x 是函数F(x)在(-π,0)上的唯一的极大值点，且0<F(x )<2.……………………………12分
0 0
