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2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（新高考Ⅱ卷）·参考答案
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D D C B D B B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ACD BD BC AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【解析】（1）选择条件①：
因为 ，在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 .（5分）
选择条件②：
因为 ，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 .（5分）
（2）因为 ，所以 ，则 ，
即 ，又 ，
所以 .因为 的外接圆半径 ，
所以由正弦定理可得 ，所以 .（10分）
18．（12分）
【解析】（1）由 得 时，
两式相减得 ,整理得
因为 ，所以 ,所以数列 是以 为公差的等差数列
在 中令 解得
所以 .（6分）
（2）当 时
，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以 .（8分）
当 时，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以 ，（10分）
当 为偶数时, ; 当 为奇数时, .（12分）
19．（12分）
【解析】（1） 以 为直径的圆经过点 ， ，
四边形 为矩形，所以 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ，
平面 ；（6分）
（2） 平面 ，又 平面 ， 平面 ，
， ，
又 ， ，则 、 、 两两互相垂直，
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（7分）
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，则点 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， .（9分）
设平面 的法向量为 ，平面 的法向为 ，
则得 ， ，
取 ， ，（10分）
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .（12分）
20．（12分）
【解析】（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为 ，
则 可取值为0，20，30，
且 ， ， ，（3分）
记预赛得分为 ，
∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为 ．（6分）
（2）该选手选择方式一答题：
设每轮得分为 ，则 可取值为0，20，
且 ，
∴ ，设预赛得分为 ，则 ，
．（9分）
该选手选择方式二答题：
设每轮得分为 ，则 可取值为0，20，30，且
，
，
，
∴ ．
设预赛得分为 ，则
，
因为 ，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等．（12分）
21．（12分）
【解析】（1） 的定义域为 ，当 时， ，
，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，（3分）
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增.
所以， ，则 对任意的 恒成立，所以，函数 的单调递增区间为 ，无递减区间. （6分）
（2）解：当 时， 恒成立等价于 在 上恒成立，（7分）
设 ，
则 ，（8分）
设 ，
则 图象为开口向上，对称轴为 的抛物线的一部分，
当 时， ， 在 单调递增，且 ，
所以， ，即 ，则函数 在 上单调递增，（9分）
又因为 ，所以 在 恒成立，满足题意；
当 时， ， ，
所以方程 有两相异实根，设为 、 ，且 ，则 ，（10分）
当 时， ， ， 在 上单调递减，
又因为 ，故当 时， ，
所以， 在 上不恒成立，不满足题意. （11分）
综上， 的取值范围为 .（12分）
22．（12分）
【解析】（1）由题知， ，点 在椭圆C上，则 ，解得 ，所以椭圆C的方程为 ；（4分）
（2）证明：∵ ，且点A在x轴上方
∴设 ， ， ， ，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为
，（5分）
由 ，得 ，∴ 或
（舍），
∴
同理 ，所以 ，（8分）
由 ，得
∴
∴ （9分）
又点B在椭圆C上，∴ ，则
∴ （10分）
同理： ，所以
