文档内容
济宁市育才中学 2023 级高二年级下学期阶段性测试
数学试题
2025.02
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知直线 与直线 互相平行，则点 在（ ）
.
A 圆 上 B. 圆 上
C. 圆 上 D. 圆 上
2. 已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为12，到 轴的距离为9，则
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为 ＝(1，－3，z)，向量 ＝(3，－2,1)与平面α平行，
则z等于（ ）
A. 3 B. 6 C. －9 D. 9
4. 记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
的
C. 甲是乙 充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
的
5. 已知正方体 ，则不正确 是（ ）
A. 直线 与 所成的角为
B. 直线 与 所成的角为
C. 直线 与平面 所成的角为D. 直线 与平面ABCD所成的角为
6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多
9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不
含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
7. 若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+
8. 已知椭圆的方程为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，设 为椭圆上一点，则 面积
的最大值为 .若已知 ，点 为椭圆上任意一点，则 的最小值为
（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.C. D.
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，P
为双曲线的左支上一点，且直线 与 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线 的离心率为2
B. 若 ，且 ，则
C. 以线段 ， 为直径的两个圆外切
在
D. 若点P 第二象限，则
11. 在长方体 中， ， ，动点 在体对角线 上（含端点），
则下列结论正确的有（ ）
A. 当 为 中点时， 为锐角
B. 存在点 ，使得 平面
C. 的最小值D. 顶点 到平面 的最大距离为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，则点 到直线
的距离为__________.
13. 若直线l与函数 ， 的图象分别相切于点 ， ，则
______.
14. 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①
在杯口放一个表面积为 的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入
一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线 ，直线 平分圆 ．
的
（1）若 ，直线 与圆 交于 ， 两点，求 周长；
（2）若直线 过定点 ，过点 作圆 的切线，求定点 的坐标及切线方程．
16. 设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
17. 如图，在四棱锥 中， 为 的中点，且满足 平面 ，
（1）证明： ；
（2）若 平面 ，点 在四棱锥 的底面内，且在
以 为焦点，并满足 的椭圆弧上.若二面角 的余弦值为 ，求直线 与
平面 所成角的正切值.
18. 设椭圆 长轴的左，右顶点分别为A，B．
（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线 的斜率分别为 ，求 的
最小值；
（2）已知过点 的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线 分别交y轴于点S、T，记 （O为坐标原点），当直线1的倾斜角 为锐角时，求 的取值范围．
19. 已知数列 的首项a=1，前n项和为S．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有
1 n
成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列 是“λ~1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且a＞0，求数列 的通项公式；
n
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ~3”数列，且a≥0?若存在，求λ的取值范围；若
n
不存在，说明理由，
