文档内容
高三第一次调研考试
数学试题
命题人：分宜中学 谢平 新钢中学 邹进辉 审题人：刘勇刚
说明：1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知函数 的定义域为集合A，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足： ，则 （ ）
A．1 B． C． D．5
3．在 中，“ ”是“ 为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜
猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ．在
每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．已知向量 ， ，且 ，若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标是（
）
A． B． C． D．
7．已知等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥 的棱长均为6，其内有n个小球，球 与三棱锥 的四个面都相切，球
与三棱锥 的三个面和球 都相切，如此类推，…，球 与三棱锥 的三个面和球 都
相切（ ，且 ），则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图
如图所示，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．频率分布直方图中a的值为0.005
B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在 内的学生人数为225
10．已知定义在R上的函数 满足 ，且函数 为奇函数，则（ ）
A． 是周期函数 B． 为R上的偶函数
C． 为R上的单调函数 D． 的图像关于点 对称
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角
形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 内一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ．以下命题
正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
12．已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（ ）
A．一定不是正方体 B．外接球的表面积为
学科网（北京）股份有限公司C．长、宽、高的值均属于区间 D．体积的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线 与圆 相切，则实数 ______．
14．已知正实数x，y满足方程 ，则 的最小值为______．
15．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个
分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、
电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿
服务方案共有______种．
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作倾斜角为 的直线l
与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 ，则C的离心率为______．
四、解答题：（本大题共6小题，17题10分，18～22题各12分，共70分．解答须写出文字说
明、证明过程和演算步骤）
17．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ．
（1）求A；
（2）若D为 的中点，且 ，求 的面积．
18．如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 且
．
（1）证明： 平面 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
19．在平面直角坐标系 中，动点P到点 的距离等于点P到直线 的距离．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）记动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线l与曲线C交于A，B两点， ，直线 的斜率为
，直线 的斜率为 ．证明： 为定值．
20．魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益
智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎
的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑
料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和
复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议，在
2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方
运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
（1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为 ，小吴每局比赛获胜的概率均为
，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；
（2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比
赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三
胜制”还是“三局两胜制”？
21．已知等差数列 与等比数列 满足 ， ， ，且 既是 和 的等差中
项，又是其等比中项．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ，其中 ，求数列 的前2n项和 ；
（3）记 ，其前n项和为 ，若 对 恒成立，求 的最小值．
22．已知函数 ， 且 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，且 存在三个零点 ， ， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）设 ，求证： ．
高三数学试题卷参考答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C A C D
二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分）
题号 9 10 11 12
答案 AD ABD ABC ABD
三、填空题（每题5分，共20分）
13．7或 14． 15．50 16．
四、解答题（共70分）
17．（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
化简得 ．
因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）因为D为 的中点，所以中所 ，
等式两边平方得 ，
即 ①．
学科网（北京）股份有限公司在 中，由余弦定理得 ②，
联立①②解得 ，所以 ．
18．（1）取 中点F，连接 ，
， 都是边长为2的正三角形，
， ， ，
又 ， 面 ， 面 ，
面 ，
又平面 平面 ，
面 且
又 面 且
， ， ，
是正方形，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，如图建立空间直角坐标系
学科网（北京）股份有限公司由于x轴垂直面
平面 的法向量为
又 ， ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，则 ， ，所以
平面 与平面 的夹角为
19．（1）因动点P到点 的距离等于点P到直线 的距离，故可知动点P的轨迹是抛物线，
设其方程为 ，由题意得 ，故动点P的轨迹方程为： ．
（2）
如图，因直线l的斜率不能为零（否则直线l与抛物线只有一个公共点），又过点 ，
可设 ，由 消去x并整理得： ，
显然 ，设 ， ，则由韦达定理， ，（*）
学科网（北京）股份有限公司则 ，
将（*）代入得： ，
故 为定值0.
20．（1）因为采用三局两胜制，所以X的可能取值为2，3，
表示小王或小吴连胜两局； 表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以 ， ，
所以X的分布列为：
X 2 3
P
则X的数学期望为 ．
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为 ；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；
负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为 ，
所以小王应选择“五局三胜制”．
21．（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
， ，所以 ，解得 ， ，
既是 和 的等差中项，又是其等比中项，
学科网（北京）股份有限公司得 ， ，
解得 ，即 ，
所以 ， ．
（2） ，
．
又
，
①
②
①减②得：
，
．
（3） ， ， ，则 是首项为 公比为 的等比数列，
， ，
学科网（北京）股份有限公司令 ， ，
当n为奇数时， ，且 递减，
可得 的最大值为 ，
当n为偶数时， ，且 递增，
可得 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，因为 ，对 恒成立，
所以 ，所以 ，所以 的最小值为 ．
22．（1）当 时 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ．
（2）（i）因为 ， 且 存在三个零点 ， ， ，
所以 有3个根，
当 时， ， ， ，
所以 在 上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，
当 ， ，即 有两个根，
学科网（北京）股份有限公司令 ，可转化为 与 有两个交点，
，
可得 时 ，即 在 单调递增，
可得 时 ，即 在 单调递减，
其中 ，当 ， ，
所以可得 ，解得 ．
（ii）因为 ， 且 存在三个零点 ， ， ，
设 ， ， ， ，易知其中 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
故可知 ①；
由（i）可知 与 有两个交点 ，
当 ， 是单调递增，所以 ， ， ，所以 ②；
即 ， ，
若 ，则 ，
若 ，构造函数 ， ，
则
，
学科网（北京）股份有限公司设 ，
则 ，
因为 ，
又因为 ， ， ， ，
所以 ③；
因为
，
又因为 ， ， ， ，
所以 ， ； ， ，
即得 ④；
由③④可知 ， 在 上单调递增，
又 可得 ，
，可知 与 同号，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
又由（i）可知 ，
所以 ， ， ，
， ， 是单调递增，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ⑤，
由①②⑤可知 ．
学科网（北京）股份有限公司
