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江西红色十校 2 月联考
数学
说明：
1．全卷满分150分，考试时间120分钟。
2．全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．样本中共有5个个体，其值分别为a，1，2，3，4．若该样本的中位数为2，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆 的焦点在y轴上，其离心率为 ，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．2 B． C． D．8
3．已知数列 满足 ，数列 的前n项和为 ， ，则
（ ）
A． B．10 C．11 D．9
4．设m，n是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．某班级举办元旦晚会，一共有8个节目，其中有2个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的2个节目
不能安排小品，且2个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知面积为9的正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点， ，
则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司7．已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，点A，B是其右支上的两点，
，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 图象的一个对称中心为 B． 是奇函数
C． D． 在区间 上单调递减
10．若 为复数，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的定义域为 ，对任意实数x，y满足 ，且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 为 上的减函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设集合 ，若 的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为
__________．
13．在正四面体P-ABC中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为
学科网（北京）股份有限公司R，最小的截面半径为r，则 _________；若记该正四面体和其外接球的体积分别为 和 ，则
_________．
l4．定义 表示 中的最小值， 表示 中的最大值，
设 ，已知 ，或 ，则 的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数 （a，b为实数）的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数 的单调区间和极值．
16．（15分）有5双鞋子，每双标记上数字1，2，3，4，5，从中取3只鞋子．
（1）求取出的3只鞋子都没有成对的概率；
（2）记取出的3只鞋子的最大数字为X，求X的分布列和数学期望EX．
17．（15分）如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ，
，M，E分别是AB， 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求ME与平面 夹角的正弦值．
18．（17分）设抛物线 ，过焦点F的直线与抛物线C交于点 ， ．当
直线AB垂直于x轴时， ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点 ，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求 与 面积之和的最小值．
19．（17分）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设 且 ．若 ，
则称a与b关于模m同余，记作 （“|”为整除符号）．
（1）解同余方程： ；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 ，数列 的前n项和为 ，求 ；
②若 ，求数列 的前n项和 ．
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