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2023-2024 学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，
在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准
考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择
题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 等于
A． B． C． D．
2．若 ，则复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ，则 等于
A．15 B．1 C． D．
4．已知向量 ， 的夹角为 且 ， ，则 在 上投影向量的坐标为
A． B． C． D．
5．“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
学科网（北京）股份有限公司6．过直线 上的一点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，当直线 ，
关于 对称时，线段 的长为
A．4 B． C． D．2
7．已知抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点，且 ，以 为直径的圆截 轴
所得的弦长为1，则 等于
A．2 B．2或4 C．4 D．4或6
8．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出
行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为 ， ， ，而他自驾，坐公交
车，骑共享单车迟到的概率分别为 ， ， ，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 的图象如图所示， ， 是直线 与曲线 的两个交点，
且 ，则下列选项正确的是
A． 的值为3 B． 的值为2 C． 的值可以为 D． 的值可以为 10．
气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于 ”．现有甲、乙、丙三地连续5
天的日平均温度（单位： ）的记录数据（记录数据都是正整数）：
学科网（北京）股份有限公司①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，
则肯定进入夏季的地区有
A．一个都没有 B．甲地 C．乙地 D．丙地
11．定义在 上的函数 满足 ， 是偶函数， ，则
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D．
12．如图，双曲线 的左右顶点为 ， ， 为 右支上一
点（不包含顶点）， ， ， ，直
线 与双曲线 的渐近线交于 、 ， 为线段 的 中点，则
A．双曲线 的离心率为
B． 到两条渐近线的距离之积为
C．
D．若直线 与 的斜率分别为 ， ，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．若 的展开式中 的系数为15，则 _________．
14．已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是_________．
15．已知函数 若方程 恰有两个不同的实数根 ， ，则 的最大值是
_________．
16．已知数列 通项公式为 ，数列 为公比小于1的等比数列，且满足 ，
学科网（北京）股份有限公司，设 ，在数列 中，若 ，则实数 的取值范围为
_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 且
．
（1）若 ，求 ；
（2）若 边上的高是 ，求 的最大值．
18．（本小题满分12分）已知函数 的图象经过 ，周期为 ．
（1）求 解析式；
（2）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的角平分线交 于 ，若 恰
为 的最大值，且 ，求 的最小值．
19．（本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的表达式．
20．（本小题满分12分）某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布 ，数学成绩的
频率分布直方图如右图：
（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中
各段是均匀分布的）；
学科网（北京）股份有限公司（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀
的有 人，求 的分布列和数学期望．
附参考公式：若 ，则
，
21．（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，
点 、 为椭圆上异于 、 的两点， 面积的最大值为2．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ．
①求证：直线 经过定点．
②设 和 的面积分别为 、 ，求 的最大值．
22．（本小题满分12分）已知函数 ．
（1）若函数 在 上为增函数，求实数 的最大值；
（2）若 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求正数 的取值范围（
为自然对数的底数）．
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数学参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B
二、选择题
9．AD 10．BD 11．ABD 12．ACD
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司13．3 14． 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）由 可得：
，
即： ．
即 ，又 ， ，
由正弦定理得： ．
（2）由题意，
，
，
时， 取得最大值 ．
18．解：（1） 周期为 ， ，
图象经过 ， ，
，又 ，
学科网（北京）股份有限公司，
（2） 的最大值2，
，得 ，
， ， ，
，
，
，即 ，
，
，当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，即当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
19．解：（1）当 时， ，所以 ．
当 时， ， ．
两式相减得： ，即 ．
故 ．
学科网（北京）股份有限公司故 ．
（2）令 ，
则
，
为等差数列．
．
20．解：（1）数学成绩的平均分为
，
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．
（2）因为语文成绩优秀的概率为 ，
数学成绩优秀的概率为 ，
所以语文成绩优秀人数为 ，数学成绩优秀人数为 ．
（3）语文数学两科都优秀的有4人，单科优秀的有6人， 所有可能的取值为0，1，2，3．
， ， ， ．
的分布列为
0 1 2 3
所以 的数学期望 ．
21．解：（1）当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值，
学科网（北京）股份有限公司且最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，所以，椭圆 的标准方程为 ．
（2）①设点 、 ．
若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 ，不合乎题意．
设直线 的方程为 ，由于直线 不过椭圆 的左、右顶点，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，则 ，
所以
，解得 ，
即直线 的方程为 ，故直线 过定点 ．
②由韦达定理可得 ， ，
所以，
学科网（北京）股份有限公司，
，则 ，
因为函数 在 上单调递增，
故 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最大值为 ．
22．解：（1） ， ，
因为函数 在 上为增函数，
所以 ， 恒成立，即 ， 恒成立，
记 ，则 ，由 ，由 ，
所以 在 上递增，在 上递减，又当 时， ，
所以 ，即实数 的最大值为 ；
（2）因为 是 的两个极值点，所以 ， 是方程 的两个实数根，
学科网（北京）股份有限公司由 ．
因为 ，两边取自然对数得 ，
即 ，
令 ，则 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
令 ，则 ．
①当 ，即 时， ， 在 上递增，所以 恒成立，满足题意；
②当 时， 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， ，
所以， 在 不能恒成立，不满足题意，
综上， 的取值范围是 ．
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