文档内容
河南省八市重点高中2024届高三4月第一次模拟考试
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题
卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合A＝｛x｜0＜x＜3｝，B＝｛x｜x≤2｝，则A∩ ＝
A．（2，3） B．［2，3） C．（0，2］ D．（－∞，3）
2．若z＝1－i，则｜ ＋ ｜＝
A．2 B．1 C． D．
3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点 均在x轴上，椭圆C的面积为
，且椭圆C的离心率为 ，则椭圆C的标准方程为
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＝1 D． ＋ ＝1
4．已知a，b均为平面单位向量，若｜a＋b｜＝ ｜a－b｜，则〈a，b〉＝
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概
率为
A． B． C． D．
6．函数f（x）＝ ＋｜ln x＋1｜的最小值为
A． B． C． ＋ln 2 D． ＋2
17．记数列｛ ｝的前n项和为 ，已知 ＝2，｛ ｝为等差数列，若 ＋ ＋ ＝1，则 ＝
A．2 B．－2 C． D．
8．在正方体ABCD－ 中， ＝4，P为 的中点，E在棱 上，且 ＝ ，
则过E且与 垂直的平面截正方体ABCD－ 所得截面的面积为
A．6 B．8 C．12 D．16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消
防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三
个年级的人数之比为1：2：3，根据各年级人数
采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分
考生成绩，并作出如图所示的频率分布直方图，
成绩前10％的学生授予“安全标兵”称号，已
知成绩落在区间［50，60）的人数为24，则
A．n＝150
B．估计样本中高三年级的人数为75
C．估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D．估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
10．已知函数f（x）＝sin（ ＋ ）＋B（ ＞0，0＜ ＜ ），（ ，1），（ ，1）为
f（x）的两个相邻的对称中心，则
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）的最大值为1
C．直线x＝ 是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D．将f（x）的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于原点对称
11．已知函数f（x）的定义域为R，f（x＋y）－f（x－y）＝f（x＋ ）f（y＋ ），f（0）≠0，则
A．f（ ）＝0 B．f（0）＝－2
C．f（x）的一个周期为3 D． ＝2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
212．若sin －2cos ＝0，则 ＝_______．
13．在正四棱台 －ABCD中， ∥平面 ，AB＝ ＝4，则正四棱台
－ABCD的体积为_______．
14．已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 ，焦距为2c，A，B为C
上的两点，AB∥ ，四边形 的面积为 （2a＋c）b，若 的周长为10a，
则C的离心率为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红
球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列以及数学期望．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AB＝2，PA＝AD＝
CD＝1，E为PB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D－EC－B的余弦值．
17．（本小题满分15分）
记 分别为数列｛ ｝，｛ ｝的前n项和， ＋ ＝2， ＋ ＝ ， ＝ ．
（1）求数列｛ ｝，｛ ｝的通项公式；
（2）设 ＝ 记｛ ｝的前n项和为 ，若对任意n∈ ， ＜m，求整数m的最
小值．
18．（本小题满分17分）
设P为抛物线C： ＝4y准线上的一个动点，过P作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）当直线AB斜率不为0时，直线AB交C的准线于M，设Q为线段AB的中点，求
△QPM面积的最小值．
19．（本小题满分17分）
3已知函数f（x）＝ －rx－1（x＞－1），r＞0且r≠1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）比较 与 的大小，并说明理由；
（3）当n∈ 时，证明： ＜n＋ ．
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