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台州市 2024 届高三第二次教学质量评估试题
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数 （ 为虚数单位），则（ ）
A. 的实部为2 B.
C. D. 对应的点位于第一象限
3.已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A.-1 B.-2 C.1 D.2
4.已知正项等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
5.已知x，y为正实数，则可成为“ ”的充要条件的是（ ）
A. B.
C. D.
6.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.3
7.房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为
24cm×11cm×5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取 1 次后共可以得到
学科网（北京）股份有限公司12cm×11cm×5cm， ， 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第
1次所截得的长方体进行第 2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第 3次截取，则共可得到体积为
165cm³的不同规格长方体的个数为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.16
8.设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点M，N分别在双曲线 的左、右两
支上，且满足 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ）
A.成绩的第60百分位数为122 B.成绩的极差为36
C.成绩的平均数为125 D.若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
10.已知正方体 的棱长为1， 为平面 内一动点，且直线 与平面 所
成角为 ，E为正方形 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.点 的轨迹为抛物线
B.正方体 的内切球被平面 所截得的截面面积为
C.直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D.点 为直线 上一动点，则 的最小值为
学科网（北京）股份有限公司11. 已 知 是 定 义 域 为 的 非 常 数 函 数 ， 若 对 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x ， y 均 有
，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值域为
C. D. 是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 的展开式中 的系数为___________（用数字作答）.
13.某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组
之间的交流，需要从 A，B 两组中随机各选一位同学交换，则交换后 A 组中男生人数的数学期望为
___________.
14.已知关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知数列 满足 ， .
（1）求 （只需写出数值，不需要证明）；
（2）若数列 的通项可以表示成 的形式，求 ，
.
16.（15分）
台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的
市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费 （单位：百万元）和年销售量 （单位：百万
辆）关系如图所示：令 ，数据经过初步处理得：
学科网（北京）股份有限公司44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有① 和② 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，
b，m，n均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测
年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时
也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响
外还受随机变量 影响，设随机变量 服从正态分布 ，且满足 .在（2）的
条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-
年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数 ，
回归直线 中公式分别为 ， ；
②参考数据： ， ， ， .
17.（15分）
如图，已知四棱台 中， ， ， ， ， ，
，且 ， 为线段 中点，
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（17分）
已知椭圆 ： ，直线 ： 交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点， 的内切
圆为圆Q.
（1）求椭圆 的焦点坐标；
（2）求圆Q的方程；
（3）设点 ，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求 的周长.
19.（17分）
设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 ，在集合B中
都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的
元素x与它对应，则称 ： 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 .
若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 .
例如：对于集合 ， ，存在一一对应关系 ，因此 .
（1）已知集合 ， ，试判断 是否成立?请说明理由；
（2）证明：① ；
② .
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A D C B B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD BCD AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.20 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解（1） ， ， ， ，
故数列 的周期为3， .
（2）由 ， ，得到
解得 ， .
备注：以下解法不扣分
因为 的周期为3，所以
又由 ，得到
解得 .
学科网（北京）股份有限公司16.（本小题满分15分）
解：（1）设模型①和②的相关系数分别为 ， .
由题意可得：
.
所以 ，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）
又由 ， ，得 ，
所以 ，即回归方程为 .
当 时， ，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为 ， ，
令 ，
所以 .
可得 在 上为增函数，在 上为减函数.
所以 ，
由题意有： ，即 ，
，
学科网（北京）股份有限公司即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
17.（本小题满分15分）
解：（1）分别延长线段 ， ， ， 交于点 ，将四棱台补成四棱锥 .
∵ ，∴ ，∴ ，
取 的中点 ，连接 ， ，
∵ ，∴四边形 为平行四边形.
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（不补成棱锥，直接取 的中点，利用梯形中位线也不扣分）
（2）由于 ，所以 ，
又梯形 面积为 ，
设 到平面 距离为 ，则 ，得 .
而 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以点C到平面 的距离与点D到平而的距离相等，
而 ，所以 平面 .
以A为坐标原点，以直线 为x轴，以直线 为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
学科网（北京）股份有限公司易得 为等边三角形，所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
得 ， ，不妨取 ，
又平面 的一个法向量为 .
则 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（传统方法相应给分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）椭圆的标准方程为 ，
，所以称点坐标为 .
（2）将 代入椭圆方程 得 ，由对称性不妨设 ，
直线 的方程为 ，即
设圆Q方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司由于内切圆Q在 的内部，所以 ，
则Q到直线 和直线 的距离相等，即： ，
解得 ， ，
所以圆 方程为 .
（用周长与面积求半径的方法相应给分）
（3）显然直线 和直线 的斜率均存在，
设过P作圆Q的切线方程为 ，其中k有两个不同的取值 和 分别为直线 和 的斜
率.
由圆Q与直线相切得： ，化简得： ，
则
由 得 ，
可得 ，
所以
.
同理 ，
所以直线 的方程为
学科网（北京）股份有限公司所以 与圆Q相切，
将 代入 得 ，
所以 ，
又点P到直线 的距离为 ，
设 的周长为 ，则 的面积 ，
解得 .
所以 的周长为 .
19.（本小题满分17分）
解：（1）设 ， ，令
则C与D存在一一对应，所以集合 .
（2）①取函数 ，其中 ， ，两个集合之间存在一一对应，故
.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为 ，值域为 即可，
如： 或 等等均给满分，
【若直接利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为 R，值域为（0，1）的函数.如
， ， 扣1分，交传了反函数关系不加分】
②设 ， ，
假设 ，即存在对应关系 ： 为一一对应，
学科网（北京）股份有限公司对于集合B中的元素 ， ， ，至少存在一个 （ ，且 ）与这三个集合中的某一
个对应，所以集合A中必存在 .
记 ，则 ，故 ，
从而存在 ，使得 ；
若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以 .
学科网（北京）股份有限公司
