文档内容
海南中学､海口一中､文昌中学､嘉积中学
2024 届高三联考试题
数学
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若古典概型的样本空间 ，事件 ，事件 相互独立，则事件 可以是（ ）
A. B. C. D.
3.已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ）
A.如果 ，那么
B.如果 ，那么
C.如果 ，那么
D.如果 ，那么
4.在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ）A. B. C. D.
6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：
.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.
已知该试剂的准确率为 ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 的可能呈现阳性；该试
剂的误报率为 ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 的可能会误报阳性.现随机抽
取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知三棱锥 的体积是 是球 的球面上的三个点，且 ，
，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知过抛物线 焦点 的直线交 于 两点，点 在 的准线上的射影分别为
点 ，线段 的垂直平分线 的倾斜角为 ，若 ，则 （ ）
A. B.1 C.2 D.4
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若 （ 为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则 是 的图象的对称中心B.若 恒成立，则 的最小值为2
C.若 在 上单调递增，则
D.若 在 上恰有2个零点，则
11.已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时， ，则下列结
论正确的是（ ）
A.函数 的最小正周期为6
B.函数 在 上递增
C.
D.方程 有4个根
第II卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量 满足 ，则 __________.
13.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
14.在 中， 于 ，若 为 的垂心，且 .则 到直线
距离的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows系统中可以使用内置的应用程序，通过输
入IP地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过
软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由“ ”
这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.
（1）求满足条件的对接码的个数；
（2）若对接码中数字1出现的次数为 ，求 的分布列和数学期望.
16.（本小题满分15分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥 的底面为矩形，平面 平面 是边长为2等边三角形，
，点 为 的中点，点 为线段 上一点（与点 不重合）.
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，直线 与平面 所成的角最大？
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，过点 的两条直线
分别与椭圆 交于另一点 ，且直线 的斜率满足 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明直线 过定点；
（3）椭圆 的焦点分别为 ，求凸四边形 面积的取值范围.
19.（本小题满分17分）
若有穷数列 （ 是正整数），满足 （ ，且 ，就称该数列为“ 数列".
（1）已知数列 是项数为7的 数列，且 成等比数列， ，试写出 的每一
项；
（2）已知 是项数为 的 数列，且 构成首项为100，公差为-4的等差数
列，数列 的前 项和为 ，则当 为何值时， 取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数 ，试写出所有项数不超过 的 数列，使得 成为数列中的连
续项；当 时，试求这些 数列的前2024项和 .
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2024 届高三联考题答案
数学
第I卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D C B C A B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ACD ABC BC
第II卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.10 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，
种数为： ，当对接码中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时，
种数为： ，
所有满足条件的对接码的个数为150.
（2）随机变量 的取值为 ，其分布列为：
故概率分布表为：
1 2 3
故 .
16.解：（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，则 ，
由于函数 在点 处切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ，
，
当 时，令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，即则令 ，设 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，解得： .
（不说明唯一性猜 值扣3分）
17.（1）证明：连接 ，因为 是等边三角形，且 是 中点，
所以 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 面 ，所以
因为 ，
所以Rt ，
所以 ，即 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以
另证：（1）因为三角形 是等边三角形，且 是 中点，
所以 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面
设 是 中点，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立
空间直角坐标系，
由已知得 ，
设 ，
则 ，
所以
（2）解：设 是 中点，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
由已知得 ，
设 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，有 ，
设直线 与平面 所成的角 ，
所以（表达式2分，不等式1分）
当且仅当 时取等号，
当 时，直线 与平面 所成角最大.
18.解：（1）由题设得 ，
解得 ，所以 的方程为
（2）由题意可设 ，设 ，
由 ，整理得 ，
.
由韦达定理得 ，
由 得 ，
即 ，
所以
整理得 ，因为 ，得 ，
解得 或 ，
时，直线 过定点 舍去；
时，满足 ，所以直线 过定点 .
（3）由（2）知
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，
所以 ，在 上单调递减，
所以 的范围是 .
19.解：（1）设 的公比为 ，则 ，
解得
当 时，数列 为
当 时，数列 为
（2）当 或25时， 取得最大值2500.
另解：当该 数列恰为4，8，.96，100，96，
或 ，96，100，96， 时取得最大值，
所以当 或25时， .
（3）所有可能的“对称数列”是：
① ；
② ；
③
④
（写任意一种情况1分，四种全齐得2分）
对于①，
当 时，
当 时，
对于②，
当 时，
当 时，
对于③，当 时，
当 时，
对于④，
当 时，
当 时，
（写任意一种情况3分，四种全齐得6分，其他每个1分）
