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湖北省高中名校联盟 2024 届高三第四次联合测评
数学试卷
本试卷共4页,19题。满分150分。考试用时120分钟。 考试时间:2024年5月10日下午15:00一17:00
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.已知复数z满足 ,则z=
2.已知集合 ,集合B满足B A,则B可以为
A.[-1,3] B.(-∞,-1] C. (-∞,-1) D. (-∞,-3)⫋
3.某校举行“云翔杯”学生篮球比赛,统计部分班级的得分数据如下。
班级 1 2 3 4 5 6 7 8
得分 28 34 34 30 26 28 28 32
A.得分的中位数为28
B.得分的极差为8
C.得分的众数为34
D.得分的平均数为31
4.已知m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则
A.若a//β,m//α,n//β,则m//n B.若a//β,m⊥α,n//β,则m//n
C.若a⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n D.若a⊥β,m//a,n//β,则m⊥n
5.在△ABC 中,若AC2+BC2=5AB2,则
A. B. C. D.
6.已知{a }是各项均为正数的等比数列，a+a+a+a+a+a=10,a aaaaa=8，则
n 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
A.2 B.3 C.4 D.5
7.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l、l，其中l 与C交于M、N两点，l 与C交于P、Q两点，则
1 2 1 2
A.1 B.2 C.3 D.4
8.若 ， ，则实数 的最大值为
A.1 B.0 C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部
分选对的得部分分,有选错的得0分
学科网（北京）股份有限公司9.已知双曲线E: (a>0)过点P(4, ),则
A.双曲线E的实轴长为4
B.双曲线E的离心率为
C.双曲线E的渐近线方程为y=±2x
D.过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条
10.张同学从学校回家要经过2个路口,假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯,每个路口遇到红绿灯相互独立,记事件
A:“第1个路口遇到绿灯”,事件B:“第2个路口遇到绿灯”,则
A.P(A)= B.P(AB)= C. P( )= D.P(A+B)=
11.已知f(x)是定义在R上的函数,且任意x,y R有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)= ，则
A.f(x)为R上的单调递增函数
B.f(x)为奇函数
C.函数 在x=0处取极小值
D.函数h(x)=f(x)-2sinx-1只有一个非负零点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分
12.已知向量a=(k,2),b=(2,1),若a⊥b,则实数k= 。
13.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上,且AB=CD= ,AC=BD= ,AD=BC= ,则球O的半径
为 。
14.已知直线l 与曲线y=aex和y=lnx-lna都相切,倾斜角为α,直线l 与曲线y=aex和y=lnx-lna都相切,倾斜角为β,则
1 2
tanα+4tanβ取最小时,实数a的值为
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（13分）
（1）求证：
（2）求值：
16. （15分）如图,AE⊥平面ABCD,E,F在平面ABCD 的同侧,AE//DF,AD//BC,AD⊥AB,AD=AB= BC=1.
学科网（北京）股份有限公司(1)若B,E,F,C四点在同一平面内,求线段EF的长;
(2)若DF=2AE,平面BEF与平面BCF的夹角为30°,求线段AE的长
17.（15分）已知函数f（x）=xex。
（1）求f（x）的单调区间
（2）若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围。
18.（17分）已知椭圆E： ，直线l 与E交于M(-4,0),N(-2,2)两点,点P在线段MN上(不含端
1
点),过点P的另一条直线l 与E交于A,B两点.
2
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若 , ,点A在第二象限,求直线l 的斜率;
2
(3)若直线MA,MB的斜率之和为2,求直线l 的斜率的取值范围
2
19.（17分）组合投资需要同时考虑风险与收益.为了控制风险需要组合低风险资产,为了扩大收益需要组合高收益
资产.现有两个相互独立的投资项目A和B,单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X,单独投资100万元项目
B的收益记为随机变量Y.若将100万资金按λA+(1-λ)B进行组合投资,则投资收益的随机变量Z满足Z=λX+(1-λ)Y,其
中0≤λ≤1.假设在组合投资中,可用随机变量的期望衡量收益,可用随机变量的方差衡量风险.
（1）若Y~B(100,0.03), λ=0,求Z的期望与方差;
（2）已知随机变量X满足分布列:
X x x x … x … x
1 2 3 k n
P（X） P（X= x） P（X= x） P（X= x） … P（X= x） … P（X= x）
1 2 3 k n
随机变量Y满足分布列:
Y y y … y … y
y1 2 3 k m
P（Y） P（Y= y） P（Y= y） P（Y= y） … P（Y= y） … P（Y= y）
1 2 3 k n
且随机变量X与Y相互独立,即P(X=x,Y=y)=P(X=x)·P(Y=y),Z=λX+(1-λ)Y,
i i i i
.
求证: D(Z)=λ2D(X)+(1-λ)2D(Y);
(3)若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有30%的可能亏损当前资产的一半;有70%的可能增值当前资产
的一倍.投资项目Y是低风险资产,满足Y~B(100,0.03).试问λ=0.3能否满足投资第1年的收益不低于17万,风险不高
于500?请说明理由。
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