2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测数学试题_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1011安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测

姓名 座位号 （在此卷上答题无效） 绝密 ★ 启用前 2024 年“江南十校”新高三第一次综合素质检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。     1．已知集合A xlog x2 ，B  x x 4 ，AB  2 A．(,4) B．(0,4) C．(4,4) D．(4,0)   2．记等差数列 a 的前n项和为S ，已知a a 8，则S  n n 3 6 8 A．28 B．30 C．32 D．36 2 3．已知函数 f(x)1 ，则对任意实数x，有 2x 1 A． f(x) f(x)0 B． f(x) f(x)0 C． f(x) f(x)2 D． f(x) f(x)2 1 11 4．已知，都是锐角，cos ，cos() ，求cos 7 14 1 39 59 71 A． B． C． D． 2 98 98 98 5．已知 12x n的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的x4项的系数为 A．5 B．16 C．40 D．80 6．已知正方体ABCD ABC D 的棱长为 3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面 1 1 1 1 与正方体的表面相交所得到的曲线的长为 3 5 A． B． C．2 D． 2 2 数学试题 第 1 页（共 4 页）7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决 赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动 员丙第一个出场”的概率为 3 1 1 4 A． B． C． D． 13 5 4 13 1 8．对于x0，e2x  ln x 0恒成立，则正数的范围是  1 1 A． B． C．2e D．e e 2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是 A．zz  z 2 B．5i 4i C．若 z 1，则z 1或z i D．若1 z  2，则点Z 的集合所构成的图形的面积为 10．箱中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次 取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡 片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则 13 A．P(AB)1 B．P(BC) 25 C．A与B相互独立 D．B与C相互独立 11．定义：设 f(x)是函数 f(x)的导数， f(x)是函数 f(x)的导数，若方程 f(x)0有实数 解x ，则称点(x , f(x ))为函数 y  f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都 0 0 0 5 有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 f(x)ax3 bx2  ， 3 (ab0)的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有 1 A．a  ，b1 3 1 2 18 19 B． f( ) f( ) f( ) f( )的值是19 10 10 10 10 C．函数 f(x)有三个零点 1 D．过(1, )只可以作两条直线与 y  f(x)图象相切 3 数学试题 第 2 页（共 4 页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线 y 2x2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 ． 13．已知样本x ,x ,,x 的平均数为3，方差为4，样本y ,y ,,y 的平均数为8，方差为2， 1 2 6 1 2 9 则新样本x ,x ,,x ,y ,y ,,y 的方差为 ． 1 2 6 1 2 9 1 2 14．在△ABC中，ABCB ACBC  BC ，则tan(BC)的最大值为 ． 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个 单位． （I）求质点移动5次后移动到1的位置的概率； （II）设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望． 16．（本小题满分15分） 如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB  BC，DAB 60，AB  AD 4，等腰 直角三角形ADE 中，AE  DE，且平面ADE 平面ABC，平面ABE与平面CDE交于EF ． （I）求证：CD//EF ； （II）若CD  EF ，求二面角ABCF的余弦值． 数学试题 第 3 页（共 4 页）17．（本小题满分15分） 已知a 0，函数 f(x) xex ax． （I）证明 f(x)存在唯一的极值点； （II）若存在a，使得 f(x)b2a对任意xR成立，求实数b的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知圆M ：(x1)2  y2 16，动圆D过定点N(1,0)且与圆M 内切，圆心D的轨迹为曲 线C． （I）求曲线C的方程； （II）曲线C上三个不同的动点P，E，F 满足PE与PF 的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶 点重合，记P关于x轴的对称点为P，线段EF 的中点为H ，O为坐标原点，证明：P，H ， O三点共线． 19．（本小题满分17分）   设集合M  aa  x2  y2,xZ,yZ ．对于数列  a  ，如果a M ，(i 1,2,3...)，则 n i   称 a 为“平方差数列”． n     （I）已知在数列 a 中，a 3，(n1)a na 1．求数列 a 的通项公式，并证明数 n 1 n n1 n   列 a 是“平方差数列”； n （II）已知b 2n，判断  b  是否为“平方差数列”？说明理由； n n （III）已知数列  c  为“平方差数列”，求证：cc M ，(i, j 1,2,3...)． n i j 数学试题 第 4 页（共 4 页）