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2026 届高二年级第一次月考数学试卷
A. B. C. D.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的） 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
1．空间直角坐标系中，点 到坐标平面 的距离为（ ） 要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有
3个正确选项，每选对一个得2分）
A．2 B． C．3 D．4
9．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
2.若m，n，l为三条不同的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．如果 ， ，则 B．如果 ， ， ， ，则 A．若 ，则 B．若 ，则
C．如果 ， ，则 D．如果 ， ， ，则
C． 的最小值为 D． 的最大值为4
3．设复数 满足 ，则复数 （ ）
10．下列有关复数的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
A.若z 32i是关于 的方程 的一个根，则
4．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的 B.若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
轴截面的面积为（ ） C. 若 是复数，则一定有 D. 若 ，则
A． B． C． D．
11．如图，已知正方体 的棱长为 ，
5．在三棱锥 中，已知 ， 是线段 的中点，则 （ ） 则下列选项中正确的有（ ）
A．异面直线 与 的夹角的正弦值为
A． B．
B．二面角 的平面角的正切值为
C． D．
C．四棱锥 的外接球体积为
6．大数学家欧拉发现了一个公式： ， 是虚数单位， 为自然对数的底数.此 A BBDD
1 1 1
D．三棱锥ABC D与三棱锥 体积相等
公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式， （ ）（注：底数是正实数的 1
三、填空题（本题共3小题，每小题5分,共15分）
实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B． C．i D． 12.在复数范围内，方程 的虚数根是 ( 写出一个即可)
7．如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
13．已知点 、 ，C为线段AB上一点，若 ，则点C的坐标为 ．
，点D是棱 上的点， ，
14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2,其内切球的半径为1,则该正四棱台的
若截面 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
侧面积为
A．1:2 B．4:5
C．4:9 D．5:7
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，
8. 已知 是面积为 的等边三角形，其顶点均在球 的表面上，当点 在球 的表
ABC 证明过程或演算步骤）
15. 本小题13分 已知直三棱柱 中，
面上运动时，三棱锥 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
，点D是AB的中点．
（1）求证： 平面 ；
2026届高二年级第一次月考数学试卷--1（2）若底面ABC边长为2的正三角形， ，
求三棱锥 的体积．
16. 本小题15分 已知复数 ，且 为纯虚数（ 是 的共轭复数）.
(1)设复数 ，求 ； 18.(本小题17分)如图, 为圆柱O0'的轴截面， 是圆柱上异于AD,BC的母线.
(1)证明: 平面 :
(2)若 ，当三棱锥
(2)复数 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
的体积最大时，求二面角 的正弦值.
17. 本小题15分 如图，在正四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，
19.(本小题17分)图1所示，在矩形 中， ， ，点 为 上一点，
，现将 沿 折起，将点 折到点 位置，使得点 在平面 的投影落在
与 的交于点 ， ， 是 边上靠近 的三等分点． 线段 上，得到如图2所示的空间几何体 ．
(1)设 ， ， ，用 ， ， 表示向量 ； （1）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请
说明理由.
(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量 的坐标．
（2）求二面角 的大小．
2026届高二年级第一次月考数学试卷--2所以 ，
故选：D.
7．D【详解】不妨令 ，且上下底面等边三角形，
2026 届高二年级第一次月考数学试卷答案
又 底面ABC，易知 为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱 体积 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A B D D D A
而 ，故 ，所以 ，故
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
，所以 .故选：D
12. 13. 14. 18
8【答案】A【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M
三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，
1．C【分析】由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解.
三棱锥 的体积取得最大值，结合三棱锥的体积
【详解】空间直角坐标系中，点 到坐标平面 的距离即为竖坐标3.故选：C
求出三棱锥 的高h，并注意到此时该三棱锥为
2【答案】C【详解】A：当 时，才能由 ， ，得到 ，所以本选项命题是假
正三棱锥，利用 ,求出球O的半径R，最后利用
命题；B：只有当 ，时才能由 ， ，得到 ，所以本选
球体的表面积公式可求出答案．
项命题是假命题；C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；
【详解】如图所示，
D：因为 ， ， ，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所
设点M为 外接圆的圆心，当点 三点共
以本选项命题是假命题，故选：C
线时，且 分别位于点 的异侧时，三棱锥
3．A【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的概念求得复数.
的体积取得最大值.
【详解】 ，∴ ，故选：A.
因为 的面积为 ，所以边长为3，
4．B【详解】如图所示，
设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.
由于三棱锥 的体积的最大值为 ，得 ，
则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l• ，可得l＝3r.
易知SM⊥平面ABC，则三棱锥 为正三棱锥，
解得：r＝3，l＝9，h 6 .
的外接圆直径为 ，所以 ,
该圆锥的轴截面的面积S •2r•h＝rh＝3×6 18 .故选：B.
5．D【详解】连接 ，因为 是线段 的中点，
设球O的半径为R，则 ,解得 ,
所以
所以球的表面积为 .故选：A
9．AC
因为 ，所以
【详解】对于A，若 ，且 ，
所以 故选：D 则存在唯一实数 使得 ，即 ，
6．D【详解】因为 ，
2026届高二年级第一次月考数学试卷--3三棱锥 的高 与三棱锥 的高 相等，底面积 ，
则 ，解得 ，故A正确； 故三棱锥 与三棱锥 体积相等，D正确.故选：ACD.
对于B，若 ，则 ，即 ， 12.
化简得 ，因为 ，所以无实数解，故B错误；
13． 【详解】 ， ，得 ，
对于CD， ，故当 时， 取得最小值为 ，无
，即点 的坐标为 .故答案为： .
最大值，故C正确，D错误.故选：AC.
10在A中，若点Z的坐标为 ，则 ，所以 ， 14 . 1 8
15.【答案】（1）证明见解析 （2）1
整理得 ，所以 ，解得 ， 【解析】（1）连接 交 于点E，连接DE
所以 ，故A正确； ∵四边形 是矩形，∴E为 的中点，
B中，记 ，则 又∵D是AB的中点，∴ ，
所以 ， 又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 面 ．
圆 的面积为 ，圆 的面积为 ，
（2）∵ ，D是AB的中点，∴ ，
所以点 的集合所构成的图形的面积为 ，故B正确.
又∵ 面ABC， 面ABC，∴ ．
C：当 ，则 ，而 ，显然 不成立，错误；
又∵ 面 ， 面 ， ，
D：令 ， ，则 ，故
∴ 面 ，∴CD为三棱锥 的高， ，
，又 ， ，则
又∵ ， ，∴ ， ，
，所以 ，正确.
∴三棱锥 的体积 ．
11ACD【详解】对于A，∵ ， 中， 就是异面直线所成的角，
，则 ，A正确； 16【答案】(1) . (2)
对于B，连接 交 于点O，连接 ， 【详解】（1）解：因为 ，则 ，
所以， 为纯虚数，
∵ 平面ABCD，BD平面ABCD，∴ BD，
所以， ，解得 .解： ，
又BD⊥AO， ， 平面 ，∴BD⊥平面
∵ 平面 ，∴BD⊥ ，∴ 为二面角 的平面角，
因此， .
在 中， ，B不正确；对于C，∵正方体外接球的半径
（2）解：因为 ，则 ，
，∴正方体的外接球体积为 ，C正确；对于D，∵
因为复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则 ，解得 .
，
2026届高二年级第一次月考数学试卷--4因此，实数 的取值范围是 .
17．(1) ；(2) .
【详解】（1）依题意， ， ， ， ， ，
．
（2）依题意，点 ，
， ， ，
．
18.
19解：（1）在边 上取点 ，使得 ，过 作 的平行线交 于 点，连接 ，
2026届高二年级第一次月考数学试卷--5． 且 ，
又 且 ， 且 ，
故四边形 为平行四边形， ，又 平面 ，
平面 ，， 平面 ；
（2）如图，记点 在线段 上射影为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，
，
， ，则 为二面角 的平面角．
在矩形 中，如图， ， ，
，BN 2 2， ，又 ，
， ， ，
则 ． 二面角 的大小为 .
2026届高二年级第一次月考数学试卷--6
