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8．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统
2026届高二年级第四次月考数学试题
称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中， 为底面圆的直径， 为 的中点，某同学用平行于
母线 且过点 的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为 ，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．直线 的倾斜角为（ ）
A．2 B． C． D．4
A． B． C． D．0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
3．已知三个向量 ， ， 共面，则 （ ）
9.如图，已知正方体 棱长为2， ， 分别
A． B． C． D． 为 ， 的中点， 为线段 上的动点，下列选项正确的
是（ ）
4．已知 ，直线 的方向向量与直线 的方向
向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ） A. 不存在 使得
A．4 B． C． D．
B. 存在 使 面
C. 存在两个 使 与 成 角
5．如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将
一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并 D. 任意 满足
使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． 10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 与 交
C． D．
于 ， 两点，若 ，则（ ）
6．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为
A． B． 的面积等于
上的一点，且 ， ， ，则 的渐近线方程为（ ）
C． 的斜率为 D． 的离心率为
A． B． C． D．
11.已知点 ，直线 ，且 ，过点 作直线 的垂线，
7．过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 交抛物线于 ， 两点，过 垂足为 ，则（ ）
A. 直线 过定点 B. 的最大值为
的中点 作另一条直线 交 轴于点 ，若 ，且 ，则 （ C. 的最小值为 D. 的最大值为
） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
A．1 B． C．2 D． 12．已知直线 与双曲线 交于 、 两点，且弦 的中点为 ，则直线 的方
程为 .
2026届高二年级第四次月考数学试题--118.（17分）如图，四棱柱 中，侧棱 底面
13．在平面直角坐标系 中， ， ，直线 上存在点 满足 ，
， 为棱 的中点.
则 的取值范围为 ．
14．如图，将两个相同的四棱锥 与 对称
摆放组成一个多面体，已知 平面 ，四边形
是边长为2的正方形，若平面 与平面 的夹
角为 ，则该多面体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字 （1）证明： 平面 ；（4分）
说明、证明过程或演算步骤．
（2）求二面角 的正弦值；（6分）
15.（13分）（1）求准线为 的抛物线标准方程；（6分）
（2）求中心在原点，焦点在 轴上，渐近线为 ，且实轴长为 的双曲线标准方程.（ 7 （3）设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段
分）
的长.（7分）
16.（15分）已知圆 经过 ， ， 三点．
（1）求 的标准方程，并说明 的圆心坐标与半径；（7分）
（2）过点 作圆 的切线 ，求直线 的方程．（8分）
19．（17分）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，左、右顶点
分别为 ， ，且 .
（1）求 的方程；（4分）
（2）若点 为直线 上的一点，直线 交 于另外一点 （不同于点 ）.
①记 ， 的面积分别为 ， ，且 ，求点 的坐标；（6分）
17．（15分）已知椭圆 的长轴长为 ，且点 在椭圆
②若直线 交 于另外一点 ，点 是直线 上的一点，且 ，其中 为坐标原
上．
（1）求椭圆 的方程；（6分） 点，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（7分）
（2）设直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ，当 时，求实数 的
值．（9分）
2026届高二年级第四次月考数学试题--2【分析】（1）根据题意可得关于 ， 的方程，求解即可；
2026届高二年级第四次月考数学试题参考答案 （2）联立方程，根据 求出 的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于 的方程，求
解即可.
1.C 2.A 3.C 4.B 5．A 6.C 7.B 8．C
【详解】（1）由题意得： ，所以 ，
9.BD 10.BC 11.ABD
12． 13．
点 在椭圆上，所以 ，解得 ，
14.
所以椭圆 的方程为： ．
15.（1） ；（2）
（2）直线 的方程为：
【详解】（1） 准线为 的抛物线标准方程为 ；
联立 ，消去 后，得关于 的一元二次方程
（2）设双曲线标准方程为 ，
，
由实轴长为 得 ，即 ，
化简得 ，
由渐近线 得 ，即 ，
由题意知 ，解得 或 ，
故抛物线标准方程为 .
由韦达定理可得 ， ，
16.（1） ，圆心为 ，半径
（2） 所以 ，
【详解】（1）由题意可设圆 的一般方程为 ，
所以 ，化简得 ，解得 ，即 ，
代入三点坐标可得 解得 经检验 符合题意.
18.（1）证明见解析；（2） ；（3）
所以圆 的一般方程为 ，
【详解】（1） 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，
则圆 的标准方程为 ．
则 ，
易得圆心为 ，半径 ．
（2）当斜率不存在时， ，满足题意，
故 . ，
设切线 的方程为 ，即 ，
则 ，
则圆心 到切线 的距离 ，解得 ，
所以 ，
故 的方程为 或 ． 又 平面 ，
17.（1） ；（2） 所以 平面 .
2026届高二年级第四次月考数学试题--3），
（2）由（1）得 即为平面 的一个法向量，
所以 ，又双曲线的渐近线为 ，故 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ，
所以直线 ，即 ，
则有 ，令 ，则 ，
由 ，消 得 ，
所以 ，
则 ， 所以 ，解得 ， 所以 .
所以二面角 的正弦值为 . ①因为 ， ，
（3）设 ，
又 ，所以 ，
则 ，
解得 或 ，即点 的坐标为 或 .
因为 轴垂直平面 ， ②直线 ，即 ，
则可取平面 的法向量为 ，
由 ，消 得 ， ，
则 ，
解得 ， 即 ，所以 ，解得 ，
所以 .
所以 ，
19．(1) (2)① 或 ；②是，
【分析】（1）根据条件，直接求出 ，即可求解；
所以直线 的斜率 ，
（2）①设 ，直线 ： ，联立直线与双曲线方程，消 得到
，进而可得 ，再结合条件，即可求解；②设直
所以直线 的方程为 ，
线 ： ，联立双曲线方程，求得 ， ， 结合①中结果，
令 ，得 ，解得 ，
可求直线 的方程，进而判断直线 恒过定点 ，即可求解.
所以直线 恒过定点 ，
【详解】（1）由题意知 解得 ， ， 又 ， 即 ， 又 点 是 的 中 点 ， 所 以
，
所以 的方程为 .
所以 是定值，且定值为 .
（2）由题意可知， ， ，设 ，因为直线 交 于另外一点 （不同于点
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设
2026届高二年级第四次月考数学试题--4，直线 的方程分别为 ， ，通过联直线 与双曲
线方程，求得 两点坐标，进而求出直线 的方程，再判断出直线 过定点，即可求
解.
2026届高二年级第四次月考数学试题--5
