文档内容
2025 届新高三暑期效果联合测评
高三数学试卷
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴
在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等差数列 中， ， ， （ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
6．已知函数 ，则（ ）
A． 有三个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
7．若 的展开式中二项式系数和为64，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，则三棱锥 的侧棱与底面所成角的正弦
值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．如图，在棱长为1的正方体 中，点 为线段 上的动点（含端点），下列四个结论
中，正确的有（ ）
A．存在点 ，使得直线 与直线 所成的角为
B．存在点 ，使得直线 与直线 所成的角为
C．存在点 ，使得三棱锥 的体积为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．存在点 ，使得 平面
10．已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ，
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 为偶函数
C． 的周期为4 D．
11．已知圆 ，则（ ）
A．圆 与直线 必有两个交点
B．圆 上存在4个点到直线 的距离都等于1
C．圆 与圆 恰有三条公切线，则
D．动点 在直线 上，过点 向圆 引两条切线， 为切点，则四边形 面积最小值
为2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思
路，有思路的题每道做对的概率均为 ，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作
答，则该同学2道题都做对的概率为 ．
13．在 中， ，点D在线段 上， ， ， ，点M是 外接圆上任
意一点，则 最大值为 .
14．O为坐标原点，双曲线 的左焦点为 ，点P在E上，直线 与直线
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司相交于点M，若 ，则E的离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知正项数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，证明： .
16.（本小题15分）
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17.（本小题15分）
如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面 平面
ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为5，求BQ的长．
18.（本小题17分）
为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7位用餐顾客进行调查，得样本数据如下：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司消费（单元：美
32 40 50 86 63 100 133
元）
小费（单位：美
5 6 7 9 8 9 12
元）
相关公式： ， ．
参考数据： ，
．
(1)求小费 （单位：美元）关于消费 （单位：美元）的线性回归方程 （其中 的值精确到
0.001）；
(2)试用（1）中的回归方程估计当消费200美元时，要付多少美元的小费（结果精确到整数）？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19.（本小题17分）
已知抛物线 ： ，圆 ： ， 为坐标原点.
(1)若直线 ： 分别与抛物线 相交于点A， （ 在B的左侧）、与圆 相交于点S，
（S在 的左侧），且 与 的面积相等，求出 的取值范围；
(2)已知 ， ， 是抛物线 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中 ， 均与圆 相切，
请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
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