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专题 04 立体几何初步
一、知识聚焦
二、题型聚焦
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司知识点 1：空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定相 延长线交于一点，但不一定相
侧棱 平行且相等
等 等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2、特殊的棱柱和棱锥
（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是
正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均
相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形
的中心．
【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．
3、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形
任一直角边所在的 垂直于底边的腰 直径所在的
旋转轴 任一边所在的直线
直线 所在的直线 直线
互相平行且相等，垂
母线 相交于一点 延长线交于一点
直于底面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
4、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法．
（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′
轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x轴和z轴的线段在直观图中保
持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
（3）直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S ＝S S ＝2S
直观图 原图形； 原图形 直观图．
知识点2：空间几何体的表面积和体积
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝4πR2 V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，
则S ＝ch′←―― S ＝(c＋c′)h′――→S ＝ch′.
正棱柱侧 正棱台侧 正棱锥侧
（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，
则S ＝2πrl←―― S ＝π(r＋r′)l――→S ＝πrl.
圆柱侧 圆台侧 圆锥侧
3、柱体、锥体、台体体积间的关系
知识点3：点、直线、平面之间的位置关系
1、四个公理
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
【拓展】公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3、直线与直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
4、直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
⊂
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司图形表示
5、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
知识点4：直线、平面平行的判定与性质
1、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此平面内
a⊄α，b α，
判定定理 的一条直线平行，则该直线
a∥b a∥α
⊂
平行于此平面
⇒
一条直线和一个平面平行，
a∥α，a β，
性质定理 则过这条直线的任一平面与
α∩β＝b a∥b
⊂
此平面的交线与该直线平行
⇒
2、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相交直线与另一 a α，b α，a∩b＝P，
判定定理
个平面平行，则这两个平面平行 a∥β，b∥β α∥β
⊂ ⊂
⇒
两个平面平行，则其中一个平面内
α∥β，a α a∥β
的直线平行于另一个平面
⊂ ⇒
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
面相交，那么它们的交线平行
⇒
3、平行关系之间的转化
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平
行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的
具体条件而定的，不可过于“模式化”．
知识点5：直线、平面垂直的判定与性质
1、直线与平面垂直
（1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面内的两
判定定理 条相交直线都垂直，则该直 l⊥α
线与此平面垂直
⇒
垂直于同一个平面的两条直
性质定理 a∥b
线平行
⇒
2、平面与平面垂直
（1）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的
判定定理 α⊥β
垂线，则这两个平面垂直
⇒
两个平面垂直，则一个平
性质定理 面内垂直于交线的直线与 l⊥α
另一个平面垂直
⇒
谨记五个结论
（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
（5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
3、垂直关系之间的转化
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的
转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通
过作辅助线来解决．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司题型归纳
【题型1 空间几何体的结构特征辨析】
满分技法
1、要全面理解几何体的结构特征，需要从不同的角度进行观察和分析，提高空间想象能力；
2、熟悉空间几何体的结构特征，根据题目条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面
关系或增加线、面等基本元素，然后依据题意进行判断；
3、要说明一个命题是错误的，只需要举出一个反例即可．
1．（23-24高一下·安徽·月考）下列说法正确的是（ ）
A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆台的所有母线延长不一定交于一点
D．一个多面体至少有3个面
【答案】A
【解析】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，
原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确；
对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误；
对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误；
对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误.故选：A.
2．（23-24高一下·江西·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．棱柱中至少有两个面完全相同
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
【答案】C
【解析】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于B，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，
还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，各侧棱的延长线不交于一点，
该几何体不是棱台，故B错误；
对于C，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，
故棱柱中至少有两个面完全相同，故C正确；
对于D，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故D错误.故选：C.
3．（23-24高一下·河北石家庄·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
【答案】B
【解析】对于A，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，
其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，
若以斜边所在直线为旋转轴，得到的是同底的两个圆锥的组合体，故A错误.
对于B，根据棱柱的定义可知，棱柱的上下底面互相平行，故B正确，
对于C，如图，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可能不相
交于一点，
所以有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，C错误，
对于D，如图，三棱锥 中， ，满足底面 是等边三角形，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司三个侧面 ， ， 都是等腰三角形，
但 长不一定等于 ，即三条侧棱不一定全相等，故D错故选：B.
4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形
【答案】BC
【解析】对于选项A，长方体为底面为长方形的直四棱柱，故A错误；
对于选项B，由棱柱的定义可知，上下底面全等且平行，
所以侧面都是平行四边形，故B正确；
对于选项C，根据正棱锥定义，底面为正多边形，侧棱都相等，
所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于选项D，若棱台为正棱台，则侧面都是等腰梯形，故D错误；故选：BC.
【题型2 空间几何体的表面积计算】
满分技法
1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体
的表面积．
2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它
们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系．
3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱
体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；
【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加．
5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为
（ ）
A．3 B． C． D．48
【答案】B
【解析】如图，作 平面 ， ，垂足分别为 ，连接 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司由题可知， ，所以 ，
所以表面积 .故选：B
6．（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足 ，
，则三棱锥 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题 ， ，
由勾股定理可得， ， ， ，
则有 ，所以 ，
三棱锥 的表面积为 .故选：C
7．（22-23高一下·福建漳州·期中）已知圆台的上、下底面面积分别为 和 ，高为 ，则圆台的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意圆台的上、下底面面积分别为 和 ，高为 ，
可得， ，所以 ，
故圆台的母线长为 ，
所以圆台的侧面积为 ．故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高一下·山东·期中）（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正
确的是（ ）
A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8D．圆锥侧面积是
【答案】BCD
【解析】因为圆锥的底面半径 ，母线长 ，
所以圆锥的高 .
对于A，因为圆锥的体积为 ，故A错误；
对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为 ，
又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，故B正确；
对于C，设圆锥的两条母线的夹角为 ，过这两条母线作截面的面积为 ，
当时 ，面积有最大值，最大值为 ，故C正确；
对于D，圆锥的侧面积为 ，故D正确.故选：BCD.
【题型3 空间几何体的体积计算】
满分技法
1、柱体的体积公式：V＝S h；2、锥体的体积公式：V＝S h
底 底
3、台体的体积公式：V＝(S ＋S ＋)h.；4、球的体积公式：V＝πR3
上 下
9．（23-24高一下·全国·专题练习）已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题图可知，此几何体为从底面半径为1，
高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的 后剩余的部分，
所以所求几何体的体积 .故选：B.
10．（23-24高一下·广东汕头·期中）已知圆锥的侧面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，
则此圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
由题意可得： ，解得 ，则圆锥的高 ，
所以此圆锥的体积为 .
11．（23-24高一下·云南昆明·月考）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为 ，则它的母线
长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】设圆台的高为h，则圆台的体积为 ，解得 ，
所以圆台的母线长为 .故选：D.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司12．（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为
，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B．28 C． D．14
【答案】B
【解析】设正四棱台的斜高为h，高为H，
表面积为 ，得 ，
则侧棱长为 ，
正四棱台上下底面对角线长为 ，
正四棱台的高 ，
正四棱台的体积 .故选：B
【题型4 球的截面性质与计算】
满分技法
球的截面问题的解题思路：一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半
径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截面）是将球的问题
转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用
它来分析、解决问题。
13．（23-24高三上·天津河东·月考）用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体
积为6π，则球的表面积为（ ）
A．13π B．52π C．20π D．36π
【答案】B
【解析】设平面截得截面圆的半径为 ，球半径为 ,
所以 ，
所以外接球的表面积为 ，故选：B
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司14．（23-24高三·全国·专题练习）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆
M，若圆M的面积为 ，则球O的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆 的半径为 ，因为圆M的面积为 ，可得 ，解得 ，
设球O的半径为 ，由截面圆的性质，
可得 ，即 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ．故选：C．
15．（23-24·贵州毕节·一模）如图所示，圆 和圆 是球 的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心
在两个截面之间，记圆 ，圆 的半径分别为 ，若 ，则球 的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球 的半径为 ，依题意， ，
则 ，解得 ，因此 ，
所以球 的表面积 .故选：A
16．（23-24高二下·辽宁·开学考试）若球的两个平行截面的面积分别为 和 ，球心到这两个截面的
距离之差为 ，则球的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球心为 ，半径为 ，
若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司设 ，
由题可得 ， ， ， ，
则 ，解得 ．
故球的直径为 ．
若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图：
设 ，
由题可得 ， ， ， ，
则 ，解得 （不合题意舍去）．故选：D．
【题型5 空间几何体的直观图问题】
满分技法
直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与y轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变．
“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与x轴和z轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变．
17．（22-23高一下·山东青岛·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】AD
【解析】对于A，在斜二测画法中，平行的线段在直观图中仍然平行，故A正确；
对于B，长方体是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，故不一定是长方体，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于C，水平摆放正方形的邻边相等，
但在用斜二测画法画出的直观图中邻边变成了原来的2倍关系，故C错误；
对于D，正棱锥底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，故D正确；故选：AD
18．（23-24高一下·山东聊城·月考）用斜二测画法画三角形OAB的直观图 ，如图所示，已知
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出三角形OAB的原图，如图所示，
在直观图中， ，
得 ，则在原图中， .故选：C.
19．（22-23高一下·甘肃白银·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ，
且 ， ，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】在直角梯形 中， ， ，
则 ，
直角梯形 对应的原平面图形为如图中直角梯形 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司则有 ，
所以该平面图形的高为 .故选：C.
20．（23-24高一下·福建蓝安·期中） 的直观图 如图所示，其中 轴， 轴，且
，则 的面积为（ ）
A． B．1 C．8 D．
【答案】B
【解析】由直观图还原平面图形可知，在 中， ， ， ,
所以 故选：B．
【题型6 空间几何体最短路径问题】
满分技法
求解空间几何体表面最短路径问题通常涉及以下步骤：
1、化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三
角形利用勾股定理求出最短路线；
2、考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑
不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径；
3、利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径．
21．（23-24高三上·山东·期中）如图，圆锥的母线长为2，点M为母线 的中点，从点M处拉一条绳子
绕圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短值为 ，则此圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图，
从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，
最短距离即为线段BM长，则有 ，
而M是线段 中点，又母线长为2，于是得 ，即 ，
设圆锥底面圆半径为r，从而有： ，解得 ，
所以圆锥的表面积为 .故选: .
22．（2022·新疆阿勒泰·三模）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发
绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为 ，
， .故选：C.
23．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在长方体 中， 是线段
上异于 的一点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】将侧面 沿着 旋转至与平面 在同一平面上，连接 ，如图所示：
由长方体结构特征，易得 ，由 ，
，
所以 ，
由 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司24．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为 为圆
台的一条母线（点 在圆台的上底面圆周上）， 为 的中点，一只蚂蚁从点 出发，绕圆台侧面一周
爬行到点 ，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】C
【解析】 圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，母线长为 ，
所以 ，解得： ，
将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O.
线段 就是蚂蚁经过的最短距离，
设 ，圆心角是 ，则由题意知 ①， ②，
由①②解得， ， ，
∴ ， ，则 .故选：C.
【题型7 平面基本性质与等角定理】
满分技法
1、平面基本事实及推论的概念辨析问题，要逐个讨论，正确地利用相关基本事实或推论进行论证，错误
地要能举出反例．
2、等角定理是平面几何中的一个重要概念，它表明如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方
向相同，那么这两个角相等．
25．（23-24高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面
【答案】D
【解析】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题；
对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面，
如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；
当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题；
对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确；
故选：D.
26．（23-24高一下·河南安阳·月考）下列命题正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C．四边形为平面图形
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】D
【解析】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误；
因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，
故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误；
由空间四边形不是平面图形可知，C错误；
由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确.故选：D
27．（23-24高一下·湖南长沙·月考）（多选）在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点 既在平面 内，又在平面 内，且 与 相交于直线 ，则点 在 上
D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台
【答案】ABC
【解析】选项A：如果两个平面有一个交点，则个平面必有过该点的一条交线，
所以这两个平面有无数个公共点，故A正确；
选项B：若其中三点共线，则一条直线和直线外一点确定一个平面，
则四点共面，与四个点不共面矛盾，所以其中任意三点不公线，故B正确；
选项C：若点 既在平面 内，又在平面 内，
则点 是两个平面的公共点， 是两个平面的交线，
根据公共点一定在交线上，所以 一定在 上，故C正确；
选项D：只有平面与底面平行时，得到的平面和底面间的几何体才是圆台，故D错误.故选：
ABC.
28．（23-24高一下·重庆·期中）以下四个命题正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线 平面 ，直线 平面 ，则“ 与 相交”与“ 与 相交”等价
C．若 ，直线 平面 ，直线 平面 ，且 ，则
D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行
【答案】AC
【解析】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；
三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；
三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，
所以空间中的三个平面最多能把空间分成 部分，故A正确；
对于B：因为直线 平面 ，直线 平面 ，由 与 相交一定可以得到 与 相交，
但是由 与 相交，则 与 可以相交、平行或异面，故B错误；
对于C：因为 ，直线 平面 ，则 且 ，
又直线 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，故C正确；
对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直，
如图正方体 中：平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司由正方体的性质可知 、 、 两两互相垂直，故D错误.故选：AC
.
【题型8 共面、共线、共点问题】
满分技法
1、证明点或线共面问题的2种方法
（1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2、证明点共线问题的2种方法
（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
29．（23-24高一下·全国·专题练习）已知 与 所在平面相交，并且 交于一点.若
，求证: 共线.
【答案】证明见解析.
【解析】因为 ,
所以平面 平面 ,
因为 平面 , 平面 ,且 ，所以 ，
即 三点位于同一直线 上.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司30．（23-24高一下·全国·月考）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别
在BC，CD上，且 .
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以 .
在 中，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
所以E，F，G，H四点共面.
（2）因为 ，所以 .
由已知可得， ， ， 平面ABC， 平面ABC，
所以 平面ABC，所以 平面ABC.
同理 ， 平面ADC， 平面ADC.
所以 为平面ABC与平面ADC的一个公共点.
又平面 平面 ，所以 ，
所以P，A，C三点共线.
31．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图所示，在正方体 中，E，F分别是 的中
点．
（1）求证： 三线交于点P；
（2）在（1）的结论中，G是 上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：连接 ， ，
正方体 中，E，F分别是 的中点，
∴ 且 ，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴EC与 相交，设交点为P，
∵P EC，EC 平面ABCD，∴P 平面ABCD；
又∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴P为两平面的公共点，
∵平面 平面 ，∴ ，
∴ 三线交于点P；
（2）在（1）的结论中，G是 上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH 平面 ，∴ 平面 ，又 平面ABCD，
∴ 平面 平面ABCD，
同理， 平面 平面ABCD，
平面 平面ABCD，
∴P，E，H都在平面 与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．
32．（23-24高一下·全国·专题练习）若 所在的平面和 所在平面相交，并且直线
相交于一点O，求证：
（1） 和 、 和 、 和 分别在同一平面内；
（2）如果 和 、 和 、 和 分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵ ，∴ 确定平面 ，
∵ 都在平面 内，∴ 平面 ； 平面 ，
∵ ，∴ 确定平面 ，
∵ 都在平面 内，∴ 平面 ； 平面 ，
∵ ，∴ 确定平面 ，
∵ 都在平面 内，
∴ 平面 ； 平面 ；
（2）∵ ，∴ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 在平面 与平面 的交线上，
∵ ，∴ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 在平面 与平面 的交线上，
∵ ，∴ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 在平面 与平面 的交线上，
所以 三点共线.
【题型9 直线与平面平行的证明】
满分技法
1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边
形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，
a α a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面
也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α a∥β.
⊂ ⇒
⇒
33．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面
，点 分别为 的中点．求证：直线 平面 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连接 ，
在 中，∵ 分别为 的中点，可得 且 ，
又∵ 为 的中点，∴ 且 ，
∴ 且 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
34．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在底面圆 上，
，点 是线段 的中点.证明： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：取 中点M，连接 ，如图所示，G为 中点，则 ，
又 ，得 ，由 ， ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
35．（23-24高三·全国·专题练习）如图，已知在三棱柱 中， ， ，F是
线段BC的中点，点O在线段AF上， .D是侧棱 中点， .证明： 平面
.
【答案】证明见解析
【解析】连接 ，并延长 交 于G，连接 ，
∵ ， ，F是线段BC的中点，∴ ，
又 ，∴O是 的重心，∴ ，
又D是侧棱 中点，∴ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司36．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，四边形
是正方形， ， ， ，点 为 的中点.
求证： 平面 ；
【答案】证明见解析
【解析】连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 是正方形，所以 是 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【题型10 直线与平面平行性质的应用】
满分技法
应用线面平行的性质定理的关键点：
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.
还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内,所有与交线平行
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．
37．（23-24高一下·河南周口·月考）已知直线 与平面 没有公共点，直线 ，则 与 的位置关系是
（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【解析】依题意可知 ，而 ，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行.故选：D
38．（23-24高一下·全国·课后作业）已知正方体 的棱长为2，点P是正方形 的中心，
点Q是 上一点，且 平面 ，则线段PQ长为 .
【答案】
【解析】提示：如图，连接 ､ ，
由正方体的性质，得 ，则P是 的中点.
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 .
39．（23-24高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥 的底面是菱形， ，对
角线 交于点 平面 ，平面 是过直线 的一个平面，与棱 交于点 ，且
．求证： ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】证明：四棱锥 的底面是菱形， ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 .
40．（23-24高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱 中， ，
，点 、 分别为棱 、 的中点，点 是线段 上的点（不包括两个端点）．
设平面 与平面 相交于直线 ，求证： .
【答案】证明见解析
【解析】因为点 ， 分别为棱 、 的中点，则 ，
在三棱柱 中，四边形 为平行四边形，
所以， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以， ，
故 ．
【题型11 平面与平面平行的证明】
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司满分技法
1、利用面面平行的定义．
2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行．
3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
41．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四棱锥 的底面为平行四边形，M，N，Q，S分
别为PC，CD，AB，PA的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面PBC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：在 中，由 分别为 的中点，可得 ，
在平行四边形 中，由 分别为 的中点，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为 且 平面 ，所以平面 平面 .
（2）证明：取 的中点 ，连接 ，
在 中，因为 分别为 的中点，所以 且 ，
又因为 为 的中点，可得 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司42．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，四棱锥 中， 分别为
线段 ， 的中点， 与 交于 点， 是线段 上一点．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接 ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 为 的中点．
又因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）连接 ， ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
同理 平面 ，
又 ， 平面 所以平面 平面 ．
43．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱 中，过BC的平面与上底面
交于GH（GH与 不重合）.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若E，F，G分别是AB，AC， 的中点，求证：平面 平面BCHG.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在三棱柱 中，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
故
（2） 在三棱柱 中，
， ， 分别是 ， ， 的中点， ，
四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ．
又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ．
， 平面 ， 平面 平面 ．
44．（23-24高一下·全国·专题练习）在圆柱 中，等腰梯形ABCD为底面圆 的内接四边形，且
，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面 平面
ADE．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】在圆柱 中， ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
连接 ，因为等腰梯形 为底面圆 的内接四边形， ，
故 ，
则 为正三角形，故 ，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ；
又 平面 ，
故平面 平面 ．
【题型12 平面与平面平行性质的应用】
满分技法
1、已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行与另一个平面，但是一个平面内的一条直
线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相
交直线。
2、提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件。
45．（23-24高一下·全国·专题练习）如图所示，平面 平面β， ， 分别在α，β内，线段
共点于O，O在平面α和平面β之间，若 ，则
的面积为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】 /
【解析】 相交于点O，所以 确定的平面与平面α，平面β的交线分别为 ，
有 ，且 ，同理可得 ， ，
， ,所以 与 相似， ，
又 ，所以 .
46．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，空间六面体 中， ，平面
平面 为正方形，求证： ；
【答案】证明见解析
【解析】因为 平面 平面 ，所以 平面 .
又因为 为正方形，则 ，
且 平面 平面 ，可得 平面 .
平面 平面 ，
所以平面 平面 .
且平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司47．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ，
， 、 分别是棱 ， 的中点，且 平面 .证明： .
【答案】证明见解析
【解析】连接 ，如图，
∵ 、 分别是 、 中点，
∴ 为 中位线， .
平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ， ， ， 平面 ，
∴平面 平面 .
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ .
48．（23-24高一下·全国·专题练习）如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为 和 为圆
台的两条不同的母线. 分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且 为等边三角形. 求证： .
【答案】证明见解析.
【解析】证明： 圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司母线 与母线 的延长线必交于一点， 四点共面.
圆面 圆面 ，且平面 圆面 ，平面 圆面 .
.
【题型13 直线与直线垂直的证明】
满分技法
直线与直线垂直的判定方法
（1）定义法:两条直线所成的角为90°，则这两条直线垂直.
（2）利用直线与平面垂直的性质定理： .
（3）若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则该直线也垂直于另一条： .
（4）平面几何知识证明共面垂直(如：勾股定理逆定理,等腰三角形三线合一,菱形对角线等等).
49．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，在直三棱柱 中， 分别为 的
中点，侧面 为正方形，求证：
（1） 平面 ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为侧面 是矩形，所以 是 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
又因为 面 面 ，所以 平面 .
（2）证明：因为侧面 为正方形， 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，即 ，
因为 为 的中点，所以 ，
又因为直三棱柱 ，所以 平面 ，
又 面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又 面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又因为 面 ，所以 .
50．（22-23高一下·河南商丘·月考）已知四边形 是矩形， 平面 ， ， ，
为 的中点.求证： .
【答案】证明见解析
【解析】因为 为 的中点， ，所以 为等腰直角三角形，
由此可得 ，同理 ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
51．（22-23高一下·河南安阳·期末）如图，在直三棱柱 中， ．求证：
．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】连接 ，因为侧面 是平行四边形，且 ，
所以平行四边形 是菱形，
所以 ，在直三棱柱 中， 平面ABC，
因为 平面ABC，所以 ，
又因为 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
52．（23-24高三·全国·专题练习）如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且AD＝ DB，C
为圆O上一点，且BC＝ AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证： PA⊥CD.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
在Rt△ABC中，由 AC＝BC，得∠ABC＝30°，设AD＝1，
由AD＝ DB，得DB＝3，BC＝2 .
由余弦定理，得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为PD⊥平面ABC，CD 平面ABC，所以PD⊥CD.
由PD∩AO＝D，PD，AO 平面PAB，得CD⊥平面PAB.
⊂
又PA 平面PAB，所以PA⊥CD.
⊂
⊂
【题型14 直线与平面垂直的证明】
满分技法
证明线面垂直的方法：
1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α.
2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
⊂ ⊂ ⇒
3、性质：①a∥b，b⊥α a⊥α；②α∥β，a⊥β a⊥α.
⊂ ⇒
4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l l⊥γ.(客观题可用)
⇒ ⇒
⇒
53．（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，直角三角形ABC所在平面外有一点 ，且 ， 为
斜边 的中点.求证: 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明如下：因为 ， 为斜边 的中点，所以 ，
在直角 中，有 ，已知 ，
所以 ，所以 ，即 .
又 平面 ，
所以 平面 .
54．（2023高一·全国·专题练习）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中，
平面 ， ．求证： 平面 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 ，
在直角 中，可得 ，
在直角中 ，可得 ，
所以 ，
在 中，可得 ，即 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
55．（23-24高一·江苏·专题练习）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 中， ，
， 为棱 的中点.求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】由题意可知， 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 为 的中点， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司在 中， ，所以 ，
所以 ，即 ，
而 ， 面 ，
故有 平面 .
56．（22-23高一下·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱 中， ，
， 、 分别为 、 的中点．求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 ， ，则 ，所以， ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
连接 ，如下图所示：
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，同理 ，
在侧面 内，则 ，又因为 ，
所以，四边形 为正方形，故 ，
因为 ， 、 平面 ，因此， 平面 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【题型15 平面与平面垂直的证明】
满分技法
证明面面垂直的方法：
法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平
面角为直角问题；
法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线
线垂直加以解决。
57．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
．证明：平面 平面 ；
【答案】证明见解析
【解析】连接 ， 与 相交于点 ，连接 ，
四边形ABCD是边长为2的正方形，则 ， 为 和 的中点，
，则 ，
平面 ， ， 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
58．（23-24高一下·全国·专题练习）在四面体 中， 分别是 和 的中点.
证明：平面 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】因为 是 的中点，所以 .
又 是 的中点，所以 .
因为 ，所以 .
又 ， 平面 .所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
59．（23-24高二·全国·专题练习）如图，四边形 是正方形， 平面 ， ，
分别为 的中点，且 ．求证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析
【解析】∵ 平面 ， ，∴ 平面 ．
又 平面 ，∴ ．
∵四边形 为正方形，∴ ．
又 ， 平面 ，∴ 平面 ．
在 中， 分别为 的中点，
∴ ，∴ 平面 ．
又 平面 ，∴平面 平面 ．
60．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在平面四边形 中， 为 的中点， ，
且 .将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 .证明：平面
平面 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】证明见解析
【解析】 为直二面角的平面角， 平面 平面 ，
又平面 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，
又在平面四边形 中，
由题意可知 ， ， ，
又 ， 平面 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
【题型16 平行与垂直中的动点探究】
满分技法
1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型
①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.
②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么.
2、对命题条件探索的三种方法：
①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.
③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合
乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.
61．（21-22高二下·江西南昌·月考）如图，已知四棱锥 的底面是菱形， 交 于点O，E为
的中点，F在 上， ， 平面 ，则 的值为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【解析】设 与 交于点 ，连接 ，如图所示，
因为 为 的中点，则 ，
由四边形 是菱形，可得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 .
62．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在正四棱柱 中， 分别为
的中点.
（1）求证: 平面 ；
（2）棱 (含端点)上是否存在点 ，使得平面 平面 ?若存在求出点 ，若不存在说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点 为点 ，理由见解析.
【解析】（1）由 分别为线段 的中点可得 ，
所以 四点共面，
取线段 的中点 ，连接 ，
因为 分别为线段 的中点，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，
又根据正四棱柱的性质可得 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 面 ， 面 ，
所以 平面 ；
（2）连接 ，
由 分别为线段 的中点可得 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 面 ， 面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
又 ，且 面 ，
所以平面 平面 ，
故棱 (含端点)上存在点 ，使得平面 平面 ，此时点 即为 点.
63．（2023高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，
， 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 上靠近 的三等分点．在棱 上是否存在点D，
使得 面 ?若存在，求出 的大小并证明；若不存在，说明理由．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】存在， ，证明见解析.
【解析】假设在棱 上存在点D，使得 面 ，
过 作 ，交 于 点，
则 为棱 上靠近 的三等分点， ，
有 ，连接 ，
直三棱柱中， 平面 ， 平面 ， ，
，即 ，
平面 ， ， 平面 ，
，则 平面 ，
又 平面 ， ，
棱 上存在点D，使得 面 ，此时 .
此时 ，而 ，故 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由直棱柱 可得平面 平面 ，
而 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ，故 ，
因为 平面 ，
故 平面 即 面 .
64．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面
是正三角形，侧面 底面 ，M是 的中点．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点N使平面 平面 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，说明理
由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【解析】（1）由侧面 是正三角形，M是 的中点，得 ，
由正方形 ，得 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，于是 ，
而 平面 ，所以 平面 .
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，连接 ，连接 ，连接
，
于是 ，由正方形 ，得 ，则 ，令 ，
显然 是正 的中心， ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
平面 ，即有 ，而 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，在平面 内过 作 交 于 ，
显然 ，而 平面 ，因此 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司连接 并延长交 于 ，连接 ，于是平面 平面 ，
过 作 ，则有 ， ， ，
， ，则 ，
又 ， ，
从而点 是线段 的中点， ，过 作 交 于 ，
于是 ，即 ，显然 ，因此 ，
所以在棱 上存在点N使平面 平面 成立， .
【题型17 与球有关的内接外切问题】
满分技法
外接球与内切球的解题思路
1、求解几何体外接球的半径的思路
（1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系
R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键；
（2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于
长方体的体对角线长求解．
2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的
思维流程是：
第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离
相等且为半径；
第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。
65．（23-24高一下·浙江·期中）已知直三棱柱 中，侧棱 ， ， ，则
三棱柱 的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】设底面 的外接圆圆心为 ，半径为 ，三棱柱 的外接球的球心为 半径为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，可知 ， 且 ∥ ，
则 ， ，
可得 ， ，
所以三棱柱 的外接球表面积为 .
66．（23-24高一下·山东枣庄·期中）已知三棱锥V—ABC，满足 ， ，
则该三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】根据三棱锥 对棱相等的特点，在长方体中构造三棱锥 如下所示：
设该长方体长宽高分别为 ，
由题可知： ，故可得 ，
又该长方体外接球半径 ，
也为该三棱锥外接球半径，故该三棱锥的外接球的表面积为 .
67．（23-24高一下·安徽·月考）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的
轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为 的冰球，冰球没有融化前饮
料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，
如图，作 ，垂足为D，则球的半径 ， ，
此时 ， ， ，
水面半径 ，
设加入冰球后水面以下的体积为 ，原来饮料的体积为 ，冰球的体积为 ，
所以饮料的体积为 .故选：C.
68．（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧面
底面 ，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， ，设 外接圆的半径为 ，
四棱锥 的外接球的半径为 ，
则 ，即 ，
又侧面 底面 ，底面 为正方形，
侧面 底面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以四棱锥 的外接球的表面积 .故选：B
【题型18 空间几何体的截面问题】
满分技法
作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
69．（22-23高一下·上海奉贤·月考）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（
）
A．六边形 B．正方形
C．对角线不相等的菱形 D．三角形
【答案】D
【解析】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，
至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形．故选：D．
70．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）（多选）在正方体 中， 分别为 的中点，
为线段 上的动点，则平面PMN截正方体 形成的截面图形可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】BCD
【解析】在正方体 中，由 分别为 的中点，
得截面与正方体的3个面 必有交线，而点 在线段 上，
截面与正方形 或正方形A B C D 有交线，即截面至少与正方体4个面有交线，
1 1 1 1
因此截面不可能是三角形，即A不可能；
取 与 重合，此时截面为四边形，如图，B可能；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当截面与棱 的交点 在线段 （不含点 ）上时，截面与正方体
除正方形A B C D 外的另5个正方形都有交线，此时截面是五边形，如图，C可能；
1 1 1 1
当点 为棱 的中点时，截面为六边形，如图，D可能.
故选：BCD
71．（23-24·山东济南·三模）在正四棱柱 中， ， ，M，N分别是 ，
的中点，则平面 截该四棱柱所得截面的周长为 ．
【答案】
【解析】延长 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为正四棱柱 中， ， ，M，N分别是 ， 的中点，
所以 ， ， ，
因为 ∽ ， ，故 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司在 上取点 ，连接 ，则 ，
同理可知 ，所以四边形 为平行四边形，
故 四点共面，
则平面 截该四棱柱所得的截面为五边形 ，
， ，
同理 ，
故截面周长为 .
72．（23-24高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台 中，上底面边长为4，下底面
边长为6，体积为 ，点E为AD中点，过点E的平面α与平面 平行，且与正四棱台各面相交得
到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，点 作 于点 ，因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司则四棱台的高为 ，则四棱台的体积为 ，
解得 ，所以侧棱长为 .
如图所示： 作 于点 ， 作 于点 ，连接 ，
由对称性可知 ， ，
所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，同理 ，
分别在棱 上取中点 ，则平面 即为平面 ，
，
所以截面多边形的周长为 .故选：D.
过关检测
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，用斜二测画法得到 的直观图为等腰直角三角形 ，
其中 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为 是 的直观图，且直角边长是 ，
所以 的面积为 ，
因为平面图形与直观图的面积的比为 ，
所以 的面积为 ，故选：A
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高三上·陕西西安·月考）若平面 截球 所得截面圆的面积为 ，且球心 到平面 的距离
为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面 截球 所得截面圆的面积为 ，得此截面小圆半径 ，
而球心到此小圆距离 ，
因此球 的半径 ，有 ，
所以球 的表面积 .故选：C
3．（23-24高一下·安徽·月考）设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法正确
的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】在A中，若 ， ，则 ， 可能相交或平行，故A错误：
在B中，若 ， ，则m与n相交、平行或异面，故B错误：
在C中，若 ， ，则由线面垂直的性质定理得 ，故C正确；
在D中，若 ， ，则由线面垂直的性质定理得 ，故D错误.故选：C.
4．（23-24高一下·河南周口·月考）在长方体 中， 为 的中点，在 中，
， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图，连接 ，由 为 的中点得 ，设 ，
则 ， ，
，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）.故选：B
5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为 ， ，且 ，若半径为
的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为 ，
则圆台内切球的球心O一定在 的中点处，
设球O与母线 切于M点，所以 ，
所以 ，所以 与 全等，
所以 ，同理 ，所以 ，
过A作 ，垂足为G，
则 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以该圆台的体积为 .故选：D.
6．（23-24高一下·江苏镇江·月考）如图所示，在空间四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中
点，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，则下列说法正确的个数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司① ， ， ， 四点共面；
② 平面 ；
③ 与 的交点 一定在直线 上.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依题意，可得 ， ，故 ，
所以 ， ， ， 四点共面，故①正确；
因为 ， ，所以四边形 为梯形， 与 必相交，
设交点 ，所以 不平行平面 ，故②错误；
因为点 在 上，故点 在平面 ，同理，点 在平面 上，
所以点 是平面 与平面 的交点，
又 是平面 与平面 的交线，
所以 与 的交点 一定在直线 上，故③正确；故选：C
二、多选题
7．（23-24高一下·四川泸州·期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
【答案】AC
【解析】对于A，根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确；
对于B，只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，
才是正四棱锥，故B错误；
对于C，根据棱台的定义知，底面边数至少为3，
故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确；
对于D，若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误.故选：AC.
8．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）以下命题属于基本事实的是（ ）
A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】ABD
【解析】在A 中，由基本事实2知：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内，故 A 是基本事实；
在B中，由基本事实1得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故B 正确；
在C中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补，故 C 是定理，不是基本事实；
在D中，由基本事实4得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D是基本事实．故选：
ABD.
9．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
为阳马．已知四棱锥 为阳马，底面 是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则
（ ）
A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为
C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为
【答案】BD
【解析】如图，不妨设 底面 ， ， 两两互相垂直，
易得 平面 平面 ，又 ，
因此 ，由对称性： ，解得 ，
所以 A错误；
该阳马的表面积 B正确；
都是以 为斜边的直角三角形，
则 都在以 为直径的球上， C错误；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司设该阳马内切球的半径为 ，
则 ，即 ，解得 D正确.故选：BD
三、填空题
10．（23-24高一下·海南海口·期中）圆锥SAB的底面半径为 ，母线长 为 的中点，一个动点
自底面圆周上的 点绕圆锥侧面移动到 ，则这点移动的最短距离是 .
【答案】
【解析】如图所示：
， .
由图知： 点绕圆锥侧面移动到 的最短距离为 .
.
11．（23-24高一下·广东佛山·期中）圆台上底面半径为2，下底面半径为5，体积为 ，则圆台的表面积
为 ．
【答案】
【解析】由圆台上底面半径为2，下底面半径为5，体积为 ，
设圆台的高为 ，母线长为 ，
可得 ，解得 ，可得 ，
所以圆台的表面积为 .
12．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱 中，底面 是边长为2的正方
形，侧棱 ， 是 的中点， 是棱 上的点，且 ，过 作平面 ，使得平面 平面
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司，则平面 截直四棱柱 ，所得截面图形的面积为 ．
【答案】
【解析】取 的中点记 ， 在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
作图得：
是直线 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ,∴ 平面 ，
又 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ,∴ 平面 ，
又 且 平面 ，
∴平面 平面 ，
又 三点都在直四棱柱表面，
平面 就是所得截面， ，
由勾股定理得： ， ， 为等腰三角形，
过 点作底边 的高，记为 ，
由勾股定理得 ， .
四、解答题
13．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知四棱锥 中，底面 是正方形， 为侧棱
的中点.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ∥平面 ；
（2）已知 为棱 上的点，若 ∥平面 ，求证： 是 的中点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）设 ，连接 ，
因为 是平行四边形，可知 为 的中点，
又因为 为侧棱 的中点，则 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，故 ∥平面 .
（2）由（1）可知： ∥ ，且 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
又因为 ∥平面 ，且 ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ，可得 ∥ ，
又因为 为 的中点，所以 为 的中点.
14．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，已知四棱锥 中，底面 为平行四边形，点
分别在 上.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求证：平面 平面 ；
（2）若点 满足 ，则点 满足什么条件时， 平面 ？并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2） 为 中点，证明见解析
【解析】（1） ， ，
四边形 为平行四边形， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 .
（2）当 为 中点时， 平面 ，
证明如下：设 ，取 中点 ，连接 ，
四边形 为平行四边形， 为 中点，
为 中点， ， 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
分别为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 .
15．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在正方形 中， 分别是 的中点，将
分别沿 折起，使 三点重合于点 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）证明: 平面 .
（2）证明:点 在平面 的投影为 的垂心.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为在正方形 中， ，
所以折起后，可得 .
因为 ， 面 ，
所以 平面 .
（2）设点 在平面 的投影为 ，则 平面 ，得 .
连接 并延长 与 交于点 ，连接 并延长 与 交于点 .
因为在正方形 中， ，所以折起后，可得
又因为 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面
又 平面 所以 .
同理由题意可知，正方形 折起后，可得
是面 内两条相交直线，所以 面 ，
又 面 ，所以
又 是面 内两条相交直线，所以 面
面 ,
综上，点 在平面 的投影为 的垂心.
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