文档内容
专题 1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量数量积的计算】..........................................................................................................................2
【题型2 空间向量的夹角及其应用】......................................................................................................................2
【题型3 利用空间向量的数量积求模】..................................................................................................................3
【题型4 向量垂直的应用】......................................................................................................................................4
【题型5 投影向量的求解】......................................................................................................................................5
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b
的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作
a·b.
定义
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
①a⊥b a·b＝0
性质
②a·a＝a2＝|a|2
⇔
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
运算律 ②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式 ＝ 求 ，进而确定 ．
学科网（北京）股份有限公司4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入 求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，⃗AB·⃗CD+⃗AC·⃗DB+⃗AD·⃗BC等于（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．不确定
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 ⃗CE = ⃗ED，
⃗AF =2 ⃗FD，则向量⃗BE⋅⃗CF=（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
3 3 2 2
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，
，则 等于（ ）
PA=AB=2 ⃗PO⋅(⃗PA+⃗PB)
10 2√6 8√2 16
A． B． C． D．
9 3 3 3
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，EF是正方
1 1 1 1
体ABCD−A B C D 外接球的直径，点P是正方体ABCD−A B C D 表面上的一点，则⃗PE⋅⃗PF的
1 1 1 1 1 1 1 1
取值范围是（ ）
A．[−2,0] B．[−1,0] C．[0,1] D．[0,2]
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为
⃑a ⃑b |⃑a|=|⃑b| (2⃑a−⃑b)⋅⃑b=0 ⃑a ⃑b
（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量 满足 ， ，则
⃑a,⃑b,⃑c ⃑a+⃑b+⃑c=0⃑ |⃑a|=2,|⃑b|=3,|⃑c|=4
学科网（北京）股份有限公司⃑a与⃑b的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
π
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC= ，则
3
cos⟨⃑OA,⃑BC⟩的值是（ ）
1 √2 1
A． B． C．− D．0
2 2 2
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知⃑e ，⃑e 是夹角为60°的两个单位向量，则⃑a=⃑e +⃑e 与
1 2 1 2
的夹角为（ ）
⃑b=⃑e −2⃑e
1 2
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量 ， ， 中， ， ，
⃗a ⃗b ⃗c ⃗a⊥⃗b ⟨⃗a,⃗c⟩=⟨⃗b,⃗c⟩=60°
则 （ ）
|⃗a−⃗b+2⃗c|=
A．√5 B．5 C．6 D．√6
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A B C D 中，向量⃗AB，⃗AD，
1 1 1 1
两两的夹角均为 ，且 ， ， ，则 （ ）
⃗A A 60° |⃗AB|=1 |⃗AD|=2 |⃗A A |=3 |⃗AC |=
1 1 1
A．5 B．6 C．4 D．8
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、
CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A．√2 B．√3 C．√3−√2 D．√3+√2
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱
学科网（北京）股份有限公司AB的中点，点E在棱OC上，且⃗OE=λ⃗OC，则DE的最小值为（ ）
1 √2 √3
A． B． C． D．1
2 2 2
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知⃗e ，⃗e 为单位向量，且⃗e ⊥⃗e ，若⃗a=2⃗e +3⃗e ，
1 2 1 2 1 2
⃗a=k⃗e −4⃗e ，⃗a⊥⃗b，则实数k的值为（ ）
1 2
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A B C D ，下列向量的数量积一定不为0
1 1 1 1
的是（ ）
A． B． C． D．
⃗AD ⋅⃗B C ⃗BD ⋅⃗AC ⃗AB⋅⃗AD ⃗BD ⋅⃗BC
1 1 1 1 1
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，
⃗AD⋅⃗AC=0，⃗AB⋅⃗AD=0，点M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知
1
AB=A A′=AD，∠BAD=∠BA A′=∠DA A′=60∘，⃗BM= ⃗BC，N为C′D′上一点，且⃗ D′N=λ ⃗ D′C′，
5
若DM⊥AN，则λ=（ ）
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【知识点2 向量的投影】
1．向量 的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a
在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为
A′，B′，得到A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量a
所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，
AB=BC=a，PA=b．试确定⃗PC在⃗AB上的投影向量，并求⃗PC⋅⃗AB．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知|AB|=1，|AD|=2，
学科网（北京）股份有限公司，分别求向量 在 、 、 方向上的投影数量．
|A A′|=3 ⃑AC′ ⃑AB ⃑AD ⃑A A′
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝
a， PA＝b.试确定⃗PC在直线AB上的投影向量，并求⃗PC⋅⃗AB.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，
AB=BC=a，PA=b．
(1)确定⃑PC在平面ABC上的投影向量，并求⃑PC⋅⃑AB；
学科网（北京）股份有限公司(2)确定⃑PC在⃑AB上的投影向量，并求⃑PC⋅⃑AB．
学科网（北京）股份有限公司
