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专题 1.3 空间向量基本定理【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 空间向量基底的判断】..............................................................................................................................1
【题型2 用空间基底表示向量】..............................................................................................................................2
【题型3 由空间向量基本定理求参数】..................................................................................................................3
【题型4 正交分解】..................................................................................................................................................4
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】.........................................................................5
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】..............................................................................................................7
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】.................................................................................................9
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】.........................................................................................10
【知识点1 空间向量基本定理】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p
＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结
合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{ ， ， }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有 ， ， ，不能含有其他形式的向量．
【题型1 空间向量基底的判断】
【例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）若 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基
{⃗a,⃗b,⃗c}
底的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗a B．⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗b C．⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗b+⃗c D．⃗a+⃗b,⃗a+⃗b+⃗c,⃗c
【变式1-1】（2023春·湖南·高一校联考期末）已知 是空间的一个基底，若 ， ，则
{⃗a,⃗b,⃗c} ⃗p=⃗a+⃗b ⃗q=⃗a+⃗c
下列与⃗p，⃗q构成一组空间基底的是（ ）
A．r⃗=2⃗b−3⃗c B．r⃗=⃗a−⃗b+2⃗c
C．r⃗=⃗a+2⃗b−⃗c D．r⃗=2⃗a+⃗b+⃗c
【变式1-2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二校考阶段练习）若⃗a，⃗b，⃗c构成空间的一个基底，则下列向量
能构成空间的一个基底的是（ ）
A．⃗a+⃗b,⃗a−⃗c,⃗b B．⃗c,⃗b+⃗c,⃗b−⃗c
C．⃗b+⃗c,⃗a+⃗b+⃗c,⃗a D．⃗a,⃗a+⃗b,⃗a−⃗b
【变式1-3】（2023秋·云南大理·高二统考期末）若 是空间的一个基底，且向量
{⃗e ,⃗e ,⃗e }
1 2 3
不能构成空间的一个基底，则 （ ）
{⃗OA=⃗e +⃗e +⃗e ,⃗OB=⃗e −2⃗e +2⃗e ,⃗OC=⃗ke +3⃗e +⃗2e } k=
1 2 3 1 2 3 1 2 3
8 5 1 9
A． B． C．− D．
3 2 4 4
【题型2 用空间基底表示向量】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）在四面体O−ABC中，⃗PA=2⃗OP，Q是BC的中点，且M为PQ的
中点，若⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC=⃗c，则⃗OM=（ ）
1 1 1 1 1 1
A． ⃗a+ ⃗b+ ⃗c B． ⃗a+ ⃗b+ ⃗c
6 4 4 6 2 2
1 1 1 1 1 1
C． ⃗a+ ⃗b+ ⃗c D． ⃗a+ ⃗b+ ⃗c
3 2 2 3 4 4
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，E为棱A C 的
1 1 1 1 1
中点.设 ， ， ，则 （ ）
⃗BA=⃗a ⃗BB =⃗b ⃗BC=⃗c ⃗BE=
1
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
A． ⃗a+⃗b+ ⃗c B． ⃗a+ ⃗b+⃗c
2 2 2 2
1 1 1
C．⃗a+ ⃗b+ ⃗c D． ⃗a+⃗b+⃗c
2 2 2
1
【变式2-2】（2023春·河南商丘·高二校联考期中）如图，在三棱锥O−ABC中，⃗CD= ⃗CB，
3
1
⃗OE= ⃗OA，若⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC=⃗c，则⃗DE=（ ）
3
1 2 1 2 1 1
A． ⃗a− ⃗b− ⃗c B． ⃗a− ⃗b− ⃗c
3 3 3 3 3 3
1 1 2 2 1 2
C． ⃗a− ⃗b− ⃗c D． ⃗a− ⃗b− ⃗c
3 3 3 3 3 3
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体ABCD−A B C D 中，M为A C 与
1 1 1 1 1 1
的交点，若 ， ， ，则 （ ）
B D ⃗AB=⃗a ⃗AD=⃗b ⃗A A =⃗c ⃗BM=
i 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
A． ⃗a− ⃗b+⃗c B． ⃗a+ ⃗b+⃗c C．− ⃗a− ⃗b+⃗c D．− ⃗a+ ⃗b+⃗c
2 2 2 2 2 2 2 2
【题型3 由空间向量基本定理求参数】
【例3】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，M，N分别是BB 和
1 1 1 1
的中点，且 ，则实数x，y，z的值分别为（ ）
A C ⃗MN=x⃗AB+ y⃗AC+z⃗AA
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1 1 1 1 1
A．−1, , B．−1, ,− C．−1,− ,− D．1,− ,
2 2 2 2 2 2 2 2
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）已知BA,BC,BB 为三条不共面的线段，若
1
，那么 （ ）
⃗AC =x⃗AB+2y⃗BC+3z⃗C C x+ y+z=
1 1
7 5 11
A．1 B． C． D．
6 6 6
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知四面体O－ABC，G 是 ABC的重心，G是OG
1 1
上一点，且OG＝3GG ，若⃗OG=x⃗OA+ y⃗OB+z⃗OC，则(x,y,z)为（ ） △
1
(1 1 1) (3 3 3)
A． , , B． , ,
4 4 4 4 4 4
(1 1 1) (2 2 2)
C． , , D． , ,
3 3 3 3 3 3
【变式3-3】（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，
N分别为PC，PD上的点，且⃑PM=2⃑MC，⃑PN=⃑ND，若⃑NM=x⃑AB+ y⃑AD+z⃑AP，则x+ y+z的值为
（ ）
2 2 5
A．− B． C．1 D．
3 3 6
【知识点2 空间向量的正交分解】
1．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常
学科网（北京）股份有限公司用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.
像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【题型4 正交分解】
【例4】（2022·全国·高一假期作业）设 是单位正交基底，已知向量 在基底 下的坐标为
{i⃗,⃗j,⃗k} ⃗p {⃗a,⃗b,⃗c}
，其中 ， ， ，则向量 在基底 下的坐标是（ ）
(8,6,4) ⃗a=i⃗+⃗j ⃗b=⃗j+⃗k ⃗c=⃗k+i⃗ ⃗p {i⃗,⃗j,⃗k}
A．(10,12,14) B．(12,14,10) C．(14,12,10) D．(4,3,2)
【变式4-1】（2023春·高二课时练习）已知 是空间的一个单位正交基底，向量 ，
{⃗a,⃗b,⃗c} ⃗p=⃗a+2⃗b+3⃗c
是空间的另一个基底，向量 在基底 下的坐标为（ ）
{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c} ⃗p {⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c}
(3 1 ) ( 3 1 ) (1 3 ) ( 1 3 )
A． ,− ,3 B． − , ,3 C． ,− ,3 D． − , ,3
2 2 2 2 2 2 2 2
【变式4-2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，
BC=√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
{ 1 }
A． ⃗AB, ⃗AC,⃗AS B．{⃗AB,⃗AC,⃗AS}
2
C．{ 1 1 } D．{ √5 }
⃗AB, ⃗AC, ⃗AS ⃗AS,⃗AB, ⃗BC
2 2 5
【变式4-3】（2022秋·山西大同·高二校考阶段练习）已知向量⃗a，⃗b，⃗c是空间的一个单位正交基底，向量
⃗a+⃗b，⃗a−⃗b，⃗a+⃗c是空间的另一个基底，若向量⃗p在基底⃗a，⃗b，⃗c下的坐标为(2,3,4)，则⃗p在⃗a+⃗b，⃗a−⃗b，
⃗a+⃗c下的坐标为（ ）
( 1 5 ) (5 1 )
A． − , ,4 B． , ,4
2 2 2 2
(1 5 ) (5 1 )
C． ,− ,4 D． ,− ,4
2 2 2 2
【知识点3 用空间向量基本定理解决相关的几何问题】
1．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，
学科网（北京）股份有限公司y)，使p＝xa＋yb.
2．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
3．求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量
的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】
【例5】（2022·高二课时练习）A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心，M、E分别是BD、AG
2
的中点，点F在线段AM上，|AF|= |AM|，判断三点C、E、F是否共线．
5
【变式5-1】（2023春·高二课时练习）如图，正方体ABCD−A B C D 中，O为A C上一点，且
1 1 1 1 1
2
⃗A O= ⃗A C，BD与AC交于点M.求证：C ,O,M三点共线．
1 3 1 1
学科网（北京）股份有限公司【变式5-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中
CF AE 1
点，E，F分别边AB，BC上的点，且 = = ，⃗CA=⃗a，⃗CB=⃗b，⃗DC=⃗c
FB EB 3
(1)求⃗FH（用向量⃗a,⃗b,⃗c表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【变式5-3】（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满
1
足⃑OM= (⃑OA+⃑OB+⃑OC).
3
(1)判断⃑MA,⃑MB,⃑MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】
【例6】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱
长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，⃗AD=⃗c.
学科网（北京）股份有限公司(1)用⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，⃗AD=⃗c表示⃗EF，并求⃗EF的长；
(2)求⃗EF与⃗GH的夹角.
【变式6-1】（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线A A ．
1
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与A B所成角的大小．
1
【变式6-2】（2022秋·山东聊城·高二校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别
是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设⃑OA=⃑a，⃑OB=⃑b，⃑OC=⃑c．
学科网（北京）股份有限公司(1)试用向量⃑a，⃑b，⃑c表示向量⃑OG；
(2)求cos<⃑OG,⃑BA>．
【变式6-3】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体ABCD−A B C D 中，AB=2，
1 1 1 1
π
A A =3，AD=1且∠DAB=∠BA A =∠DA A = .
1 1 1 3
(1)求DB 的长；
1
(2)求向量 与 夹角的余弦值.
⃗DB ⃗AB
1
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】
【例7】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且
OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
学科网（北京）股份有限公司【变式7-1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱ABC−A B C 中，⃑CA=⃗a，
1 1 1
2π π
⃑CB=⃗b，⃑CC =⃗c，CA=CB=CC =1，⟨⃗a,⃗b⟩=⟨⃗a,⃗c⟩= ，⟨⃗b,⃗c⟩= ，N是AB中点．
1 1 3 2
(1)用⃗a，⃗b，⃗c表示向量⃑A N；
1
(2)在线段C B 上是否存在点M，使AM⊥A N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．
1 1 1
【变式7-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个
四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC
的中点，且|EG|=|FH|=|KM|求证 AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC.
学科网（北京）股份有限公司【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高二校考阶段练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体
1 1
ABCD−A B C D 中，M，N分别在棱A A ，CC 上，且A M= A A ，CN= CC ，且
1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1
．
∠A AD=∠A AB=∠DAB=60∘
1 1
(1)用向量 表示向量 ；
⃗A A ，⃗AD，⃗AB ⃗MN
1
(2)求证：D，M，B ，N共面；
1
A A
(3)当 1为何值时，AC ⊥A B．
AB 1 1
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】
【例8】（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，
∠BAD=∠CAD=45°，AD=√2，AB=AC=3.
(1)求⃗BC⋅⃗BD的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足⃗EB=2⃗AE，求线段EF的长.
学科网（北京）股份有限公司【变式8-1】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图所示，在四棱锥M−ABCD中，底面ABCD是边
长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中点，设⃗a=⃑AB，⃗b=⃑AD，
⃗c=⃑AM，用⃗a、⃗b、⃗c表示向量⃑BN，并求BN的长．
【变式8-2】（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中
点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若⃗AO=⃗a,⃗AB=⃗b,⃗AC=⃗c，解答下列问题：
(1)以 为基底表示 ；
{⃗a,⃗b,⃗c} ⃗OP
π 2π
(2)若|⃗a|=|⃗b|=|⃗c|=1，∠OAB=∠OAC= ，∠CAB= ，求|⃗OP|的值．
2 3
学科网（北京）股份有限公司【变式8-3】（2022秋·浙江湖州·高二统考期中）如图，在正四面体O−ABC中，OA=6，M为棱OA的中
点，N为棱BC（靠近C点）的三等分点，设⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b,⃗OC=⃗c．
(1)用⃗a,⃗b,⃗c表示⃗AN；
(2)求⃗OM⋅⃗AN；
(3)求MN的长．
学科网（北京）股份有限公司
