文档内容
北京市丰台区 2024-2025 学年高二上学期期末考试
数 学
2025.01
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字
迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的
“条形码粘贴区”贴好条形码。
考 2. 本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B铅笔以正确填涂
生 方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选
须 项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清
知 楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无
效，在练习卷、草稿纸上答题无效。
4. 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．已知向量 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
2．直线 的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
3．与直线 关于x轴对称的直线方程为
（A） （B）
（C） （D）
4．已知圆 与圆 外切，则
（A） （B） （C）7 （D）13
5．已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
（A） （B） （C） （ D ）
6．已知圆 及点 ，在圆 上任取一点 ，连接
1，将点 折叠到点A，记 与折痕 的交点为 （如图）. 当点 在圆 上运动时，点 的
轨迹方程为
（A） （B）
（C） （D）
7．在空间直角坐标系 中， ， ， ，D 是平面 ABC 内一点，若
，则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）3
8．设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ，若双曲线渐近线的斜率均
小于 ，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9．在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数
学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点 ， 在直线 上，△ 是边长为1的等边
三角形， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧
是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，…，依
次类推（其中点 ， ， ， ，…共线，点 ， ， ， ，…共线，点 ， ， ， ，
…共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线 恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为
（A） （B） （C） （D）
10．如图，在棱长为2的正方体 中，P为棱 的中点，Q为底面 上一动点，
则下列说法正确的是
（A）存在点Q，使得BQ 平面
（B）在棱 上存在点Q，使得 平面
（C）在线段 上存在点 ，使得直线 与 所成的角为
2（D）存在点 ，使得三棱锥 的体积为2
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知平面a的一个法向量为 ，平面b的一个法向量为 ，若 ，则
_______.
12．直线 ： 被圆 ： 截得的弦AB的长为 .
13．在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|= .
14．已知点 ，直线 ，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为
_______；若直线 及 分别与曲线C交于异于原点的M，N两点. 当直线MN过点F
时， .
15．已知方程 所表示的曲线为C. 给出以下四个结论：
①曲线C与y轴有两个不同交点；
②曲线C关于原点对称；
③x轴及直线 为曲线C的两条渐近线；
④若曲线C与圆 有公共点，则r的最小值为 .
其中，所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
已知数列 是等差数列， ，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前n项和 的最小值，以及 取得最小值时n的值.
317．（本小题14分）
已知圆C经过点 ，且圆心C是直线 与 轴的交点.
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形CAMB为菱形，求直线l的方程.
18．（本小题13分）
已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一
象限），点A到抛物线C的准线的距离为 .
（Ⅰ）求直线l的斜率；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
19．（本小题15分）
如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， 平面 ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，
求平面 与平面 夹角的余弦值．
条件①：点B到平面PAC的距离为1；
条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
420．（本小题15分）
已知椭圆 过点 ，长轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l： 与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个
交点为D. 求证：直线AD过定点.
21．（本小题共14分）
已知无穷数列 各项均为正数，且 .
（Ⅰ）请判断如下两个结论是否正确：
① ；② ；
（Ⅱ）当 时，证明： ；
（Ⅲ）记数列 的前 项和为 ，若 ，证明： .
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
5参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C A A C A C D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13．
14． ； 15． ①②③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题14分）
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ,
所以 ，解得 ，
所以 . …………………………6分
（Ⅱ）因为 是等差数列，所以 ，
由（Ⅰ）可知， ，
所以当 时， 有最小值 . …………………………14分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为圆心C是直线 与 轴的交点，
所以圆心C的坐标为 ，
又因为圆C经过 ，所以圆C的半径为 ，
所以圆C的方程为 . …………………………6分
（Ⅱ）因为四边形CAMB为菱形，
所以AB垂直平分CM，
因为 ，所以
又因为CM的中点坐标为
所以直线AB的方程为 . …………………………14分
18.（本小题13分）
6（Ⅰ）设点A的坐标 ，
因为点A到抛物线准线的距离是 ，
所以 ，所以 ，代入抛物线方程得：
所以点 ，又因为点 ，
所以直线l的斜率 . …………………………6分
（Ⅱ）因为抛物线C的焦点F ，所以直线l的方程为：
由 得： ,
可知 恒成立，
设点B的坐标 ，则 ，
，所以 . …………………………13分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为 底面ABCD， 平面ABCD，
所以 ， ，
因为 ， ， 平面PAB，
所以 平面 ，
因为PB⊂平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，
所以 ，
所以 . …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PA，AB，AD两两垂直，以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，
z轴，建立如图所示坐标系.
若选条件①：
方法1：过点B作BM^AC，交AC于点M，
因为PA^底面ABCD，BM⊂平面ABC，
所以PA^ BM，
7因为AC∩PA=A，
所以BM^平面PAC，
又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1，
在Rt△ABC中，AC=2，所以 .
因此 ， ， ，
又 ， ，
所以 ， .
设 是平面PBC的法向量，则 ， ，即
取 ，则 ， ，所以 是平面PBC的一个法向量.
因为BM^平面PAC，所以 是平面PAC的一个法向量.
设平面ACP与平面BCP的夹角为 ，则
，
所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为 .
方法2： ， ，设 ，则
可求得平面PAC的法向量为 ，则
，得 .以下同方法1
若选条件②：
方法1：由（Ⅰ）知BC^平面PAB，
因为直线PC与平面PAB所成角的大小为30°，
所以 即为PC与平面PAB所成的角，即 =30°.
在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以 ，
在Rt△PBC中， ， =30°，所以 ，
方法2：由条件①方法2得到 ，
是平面的PAB的一个法向量，
8所以 ，得 .以下同条件①. …………………………15分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为椭圆E过点（0,1），所以 ，
又因为长轴长为4，所以 ，所以 ，
所以 .
椭圆E的方程为： ，离心率 . …………………………6分
（Ⅱ）由 得： ，
由 得： 或
设点A的坐标 ，点B的坐标 ，则点D的坐标 ,
由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为： ，
令 得：
，
所以直线AD过定点 . …………………………15分
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）①，②均正确； …………………………4分
（Ⅱ）因为 ，均有
所以当 时，有 ，
所以
9，
所以 ，
当 时，有 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
整理得 . …………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当 时，有 ，
所以 ，均有 ，
即 ，
所以
所以
，
即 ，
又因为 ，所以 . …………………………14分
10
