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专题 1.7 空间向量与立体几何全章八类必考压轴题
【人教A版（2019）】
【考点1 空间向量的线性运算】
1
1．（2023·全国·高三对口高考） (⃗a+2⃗b−3⃗c)−3(⃗a−2⃗b−⃗c)=（ ）
2
5 5 5 3 5 9
A．− ⃗a−4⃗c B．− ⃗a+4⃗b−2⃗c C．− ⃗a+7⃗b+ ⃗c D．− ⃗a−5⃗b− ⃗c
2 2 2 2 2 2
2．（2023春·安徽合肥·高二校考期末）已知 ， ，则 等于（ ）
⃗a=(1,2,1) ⃗b=(2,−4,1) 2⃗a+⃗b
A．(4,−2,0) B．(4,0,3)
C．(−4,0,3) D．(4,0,−3)
3．（2023春·高二课时练习）已知向量 ， ， ，则 的坐标为
⃗a=(−2,−3,1) ⃗b=(2,0,3) ⃗c=(0,0,2) ⃗a+6⃗b−⃗c
.
4．（2023春·高二课时练习）已知 ， ，求 ， ， ．
⃗a=(1,−3,8) ⃗b=(3,10,−4) ⃗a+⃗b ⃗a−⃗b 3⃗a
5．（2023春·高二课时练习）如图所示，在三棱柱ABC−A B C 中，M是BB 的中点，化简下列各式，
1 1 1 1
并在图中标出化简得到的向量.
(1)⃑CB+⃑BA ；
1
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(2)⃑AC+⃑CB+ ⃑A A ；
2 1
1 1
(3) ⃑A A − ⃑B B−⃑AC−⃑CB.
2 1 2 1
【考点2 空间向量数量积的应用】
1．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）平行六面体ABCD−A B C D 的所有棱长均为1，
1 1 1 1
∠BAD=∠BA A =∠DA A =60°，则AC 的长度为（ ）
1 1 1
3√2
A． B．√6 C．3 D．6
2
2．（2023春·甘肃金昌·高二校考期中）如图，在平行六面体ABCD−A B C D 中，AB=2，AD=2，
1 1 1 1
A A =2，∠BA A =∠DA A =60°，∠BAD=90°，则BC 与C A 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1
√3 √3 √2 √2
A．− B． C．− D．
6 6 4 4
3．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且
AB=AP=6，AD=2,∠BAD=∠BAP=∠DAP=60∘,E,F分别为PB,PC上的点，且⃗PE=2⃗EB，
.
⃗PF=⃗FC,|⃗EF|=
4．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°，
学科网（北京）股份有限公司AD=√2，AB=AC=3.
(1)求⃗BC⋅⃗BD的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足⃗AE=2⃗EB，求线段EF的长.
5．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD是边长为2
1 1 1 1
的正方形，侧棱AA 的长度为4，且∠AAB＝∠AAD＝120°.用向量法求：
1 1 1
(1)BD 的长；
1
(2)直线BD 与AC所成角的余弦值.
1
【考点3 空间向量基本定理及其应用】
1．（2023春·安徽池州·高二联考阶段练习）已知 是空间的一组基底，其中 ，
{⃗a,⃗b,⃗c} ⃗AB=2⃗a−3⃗b
⃗AC=⃗a−⃗c，⃗AD=2⃗b+λ⃗c.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
学科网（北京）股份有限公司3 3 4 4
A．− B． C． D．−
4 4 3 3
2．（2023春·江苏泰州·高二统考期末）已知三棱柱ABC−A B C 的侧棱长为2，底面ABC是边长为2
1 1 1
的正三角形， ，若 和 相交于点M.则 （ ）
∠A AB=∠A AC=60° B C BC |⃗AM|=
1 1 1 1
A．√3 B．2 C．√5 D．√6
3．（2022·湖北十堰·高三校考阶段练习）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N
分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且⃑MG=2⃑GN，若⃑OG=x⃑OA+ y⃑OB+z⃑OC，则x+ y+z=
．
4．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四
边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)⃑OQ=⃑PQ+x⃑PC+ y⃑PA；
(2)⃑PA=x⃑PO+ y⃑PQ+⃑PD．
5．（2022·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A B C D 中，E，F分别在BB 和DD 上，
1 1 1 1 1 1
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且BE= BB ，DF= DD ．
3 1 3 1
(1)证明：A、E、C 、F四点共面．
1
(2)若⃑EF=x⃑AB+ y⃑AD+z⃑A A ，求x+ y+z．
1
【考点4 空间线、面平行关系的判定及应用】
1．（2023春·四川成都·高二校联考期中）已知直线l的方向向量为⃗m=(1,−2,4)，平面α的法向量为
⃗n=(x,1,−2)，若直线l与平面α平行，则实数x的值为（ ）
1 1
A． B．−
2 2
C．10 D．−10
2．（2023春·高二课时练习）在正方体ABCDAB C D 中，棱长为a，M，N分别为AB，AC的中点，则
1 1 1 1 1
MN与平面BB C C的位置关系是( )
1 1
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
3．（2023·全国·高三专题练习）已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为⃑n =(2,−3,1)，
1
学科网（北京）股份有限公司⃑AB=(1,0,−2)，⃑AC=(1,1,1)，则平面α和平面ABC的位置关系是 ．
4．（2023·江苏·高二专题练习）在正方体ABCD-ABC D 中，点P在线段AD上，点Q在线段AC上，线
1 1 1 1 1
段PQ与直线AD和AC都垂直，求证：PQ∥BD.
1 1
5．（2023·全国·高二专题练习）在正方体ABCD−A B C D 中，点E，F分别是正方形A B C D 和正
1 1 1 1 1 1 1 1
方形B C CB的中心．求证：
1 1
(1)AC ⊥平面A BD；
1 1
(2)EF//平面A BD；
1
(3)平面B EF∥平面A BD．
1 1
【考点5 空间线、面垂直关系的判定及应用】
1．（2022秋·四川达州·高二统考期末）长方体ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
AB=3,BC=4,A A =5,AC∩BD=O,M为CC 中点，则下列选项中与OM垂直的是（ ）
1 1
A．OA B．BC C．OB D．A C
1 1 1
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是正方体ABCD−A B C D 的棱CD的中点，给出以下结论：
1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司①A P⊥C D；
1 1
②A P⊥BD；
1
③A P⊥BC ；
1 1
④A P⊥平面BC D
1 1
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中
点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是 （填写正确的序号）
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC=60° PA=AB=BC=2，E是PC的中点．
求证：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE．
学科网（北京）股份有限公司5．（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）如图，在三棱柱 ABC−A B C 中，A A ⊥底面ABC，
1 1 1 1
， ， ， 为 的中点， 为侧棱 上的动点．
∠CAB=90∘ AB=AC=2 A A =√3 M BC P BB
1 1
(1)求证：平面APM⊥平面BB C C；
1 1
(2)试判断直线 BC 与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．
1
【考点6 利用空间向量研究距离问题】
1．（2023春·江苏镇江·高二校考期末）已知正方体ABCD−A B C D 的棱长为2，E、F分别为上底面
1 1 1 1
A B C D 和侧面CDD C 的中心，则点D到平面AEF的距离为（ ）
1 1 1 1 1 1
2√11 √11 √11 4√11
A． B． C． D．
11 11 4 11
2．（2023秋·高二课时练习）正方体ABCD−A B C D 的棱长为1，则平面AB D 与平面BDC 的距
1 1 1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司离为（ ）
√2 √3
A．√2 B．√3 C． D．
3 3
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，
且PA=AB=2，F为棱PD的中点，点M在PA上，且PM=2MA，则CD的中点E到直线MF的距离是
．
4．（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，
AD=2,AB=3，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P,B重合），平面ADE交棱PC于点F.
(1)求证：AD//EF；
3√30
(2)若二面角E−AC−B的余弦值为 ，求点B到平面AEC的距离.
20
5．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体ABCD−A B C D 中，A A=2AB=2BC=2，E为线段
1 1 1 1 1
DD 的中点，F为线段BB 的中点．
1 1
学科网（北京）股份有限公司(1)求点A 到直线B E的距离；
1 1
(2)求直线FC 到直线AE的距离；
1
(3)求点A 到平面AB E的距离．
1 1
【考点7 利用空间向量求空间角】
1．（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）如图，平行六面体ABCD−A B C D 中，AB=2，AD=3，
1 1 1 1
π
A A =3，∠BAD=∠BA A =∠DA A = ，则B C与BD 所成角的大小为（ ）
1 1 1 3 1 1
π π π 2π
A． B． C． D．
4 3 2 3
π
2．（2023·浙江·校联考二模）在平行四边形ABCD中，角A= ,AB=√3,AD=1，将三角形ABD沿BD
6
翻折到三角形A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD.记线段A′C的中点为M，那么直线A′D与平面BDM所
成角的正弦值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司√6 √3 √2 √3
A． B． C． D．
4 3 2 2
3．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多
年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，
AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则二面角A-PC-B的余弦值为 ．
8√2
4．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）如图，正四棱锥P−ABCD的高为2√2，体积为 .
3
(1)求正四棱锥P−ABCD的表面积；
(2)若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角A−PB−C的余弦值.
5．（2023春·河南·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，
学科网（北京）股份有限公司1
AB//CD，AB=2，AD=CD=1，PC⊥底面ABCD,E是AC的中点，⃗PF= ⃗PD.
3
(1)证明：平面PBC⊥平面ACF.
√10
(2)若直线PE与平面PAB所成角的正弦值为 ，且PC>CD，求平面ACF与平面PAB夹角的余弦值.
15
【考点8 利用空间向量研究存在性问题】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方
形，且DE//SA，SA=AB=2DE，M,N分别是线段BC,SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端
点D,C），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点Q，使得NQ⊥SB
B．存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60∘
4
C．三棱锥Q−AMN体积的最大值是
3
D．当点Q自D向C处运动时，二面角N−MQ−A的平面角先变小后变大
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A B C D 中，P为棱BB 的中点，
1 1 1 1 1
Q为正方形BB C C内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
1 1
学科网（北京）股份有限公司A．若D Q//平面A PD，则动点Q的轨迹是一条线段
1 1
B．存在点Q，使得D Q⊥平面A PD
1 1
C．当且仅当点Q落在C 处时，三棱锥Q−A PD的体积最大
1 1
√6 √2
D．若D Q= ，那么点Q的轨迹长度为 π
1 2 4
3．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂
直，且AB//CD，AB⊥BC，AP⊥PB，AB=2，BC=CD=1．
(1)求证：AB⊥PD；
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；
AE
(3)线段PA上是否存在点E，使得PC//平面EBD？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
AP
4．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，四边形ABCE
是边长为4的菱形，并且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C 的位置，且
1
，如图2.
AC =2√6
1
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：平面BC E⊥平面ABED；
1
2√15
(2)在棱DC 上是否存在点P，使得P到平面ABC 的距离为 ？若存在，求出直线EP与平面ABC 所
1 1 5 1
成角的正弦值.
2π
5．（2023·福建福州·福建省校考二模）如图1，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC= ,E为BC的中点，
3
F为AB上一点，且EF⊥AB.将△BEF沿EF翻折到△B′EF的位置，如图2.
(1)当AB′=√2时，证明：平面B′ AE⊥平面ABC；
π
(2)已知二面角 B′−EF−A 的大小为 ，棱AC上是否存在点M，使得直线 B′E 与平面 B′MF 所成角的正
4
√10
弦值为 ？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.
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