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玉溪一中高 2026 届高二下学期月考试卷
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列 的前 项和为 ，若公比 ， ，则 （ ）
A．49 B．56 C．63 D．112
3．玉溪市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组
指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知点 是圆 上的动点，则点 到直线 距离的
最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6.已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知函数 的定义域为R，其导函数 满足 ，则
f(2)>ef(1)
A. B. C. D.
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8．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，左，右顶点分别为
，点B的坐标为 在双曲线 上， 是 的中垂线，若 的周长与
的周长之差为 ，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 在 处的瞬时变化率为3，则
B. 当 时，函数 在区间 上的最小值为1
C. 若 在R上单调递增，则
5
D. 当 时，函数 图象的对称中心是（2， ）
3
10．设等差数列 的前 项和为 ， ，公差为 ， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．当 时， 取得最大值
C． D．使得 成立的最大自然数 是17
11．如图，已知圆台的轴截面为 ，其中
为圆弧 的中点，
，则（ ）
A．圆台的体积为
22
B．圆台母线所在直线与平面 所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过 三点的平面与圆台下底面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．抛物线 的焦点坐标是.
13．已知数列 满足 且 则 的通项公式 ．
的
14. 若曲线 有两条过坐标原点 切线，则a的取值范围是________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，求 的面积.
16.（15分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）求 在 上的最大值 ．
g(a)
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17．（15分）已知椭圆 经过点
(1)求 的方程和离心率；
(2)若过点A且斜率为1的直线 与 的另一个交点为 ，求 的面积．
18．（17分）已知等差数列 满足 ， 是关于 的方程 的两个根.
(1)求 和 ；
(2)求 和 ；
(3)设 ,求数列 的前 项和 ．
19.（17分） 对于函数 的导函数 ，若在其定义域内存在实数 和 ，
使得 成立，则称 是“跃点”函数，并称 是函数
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的“ 跃点”.
（1）若函数 是“ 跃点”函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 是定义在 上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个
不同的“1跃点”，求实数 的取值范围；
（3）若函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，
求实数 的取值范围.
玉溪一中高 2026 届高二下学期月考试卷
数 学
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为 ，所以 .故选：B
2.【答案】B
【详解】∵ ，∴ .故选：B.
3.【答案】C
【详解】根据指挥交通组选人打扫街道组选人，基本事件总数为6，
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甲乙在同一组包含基本事件总数为2，其概率为 ，
其对立事件：“甲、乙不在同一组”
所以甲、乙不在同一组概率为 .故答案为：C
4．【答案】B
【详解】已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则由 得到 或 ,
故 是 的非充分条件；
由 可得 ，故 是 的必要条件.故选：B
5．【答案】C
【详解】因为圆 可化为 ，
所以圆心坐标为 ，半径 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相离，
所以点 到直线 距离的最小值是 .故选：C.
6.【答案】A
【详解】若 恒成立，则 ，
， 由 ，得 ；由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
由 ，得 ，故选：A
7.【答案】B
【详解】构造函数 ， R，则 ，所以函数 为R上
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的减函数，则 ，即 ，所以 ，A错误，B正确；因为
，所以 ，即 ，所以 ，C错误，
g(2)<g(1),所以f(2)<ef(1)
因为 ,D错误．故选B.
8．【答案】B
【详解】因为 是 的中垂线，所以 ， ，
若 的周长与 的周长之差为 ，
则 ，
即 ，①
又 ，所以 ，②
且 ，③
解①②③组成的方程组可得 ，
则双曲线 的方程为 .故选：B.
9. 【答案】BD
【详解】函数 的定义域为R，求导得 ，
对于A， ，解得 ，A错误；
对于B，当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
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函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减， ，
函数 在区间 上最小值为 ，B正确；
对于C， 在R上单调递增，则 恒成立， ，
解得 ，C错误；
x=2
对于D，当 时， ，对称轴为 ，所以函数
5
（2， ）
图像的对称中心是 3 ，D正确.故选：BD
10.【答案】ABC
【详解】因为等差数列 中，
， ，
所以 ， ， ，A正确；
当 时， 取得最大值，B正确；
，C正确；
， ，
故 成立的最大自然数 ，D错误．故选：ABC
11．【答案】ABD
【详解】A.∵ ，∴圆台上底面圆半径为 ，下底面圆半径为
，
∴圆台的高 ，
88
∴圆台的体积 ，A正确.
B.由 ， ，得 ，由 得， .
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为 ，底面圆的圆心记为 ，连接 ，
∵ 为圆弧 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ，
此时母线所在直线 与平面 所成的角最大，最大为 ， ，
B正确.
C.由 得， ，∴ ，
当两条母线所在直线夹角为 时，截面面积最大，最大值为
，C错误.
D.如图，在梯形 中，连接 并延长交
的延长线于点 ，连接 交底面圆于点
，则 为截面与底面圆的交线.
由 得， ， ，∴ ，
，
取 中点 ，则 ，
∴ ，D正确.故选：ABD.
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12.【答案】
【详解】由 ，得到 ，所以 ，
所以抛物线 的焦点是 .
13.【答案】 .
【详解】由 可知数列 是以 为首项，1为公差的
等差数列，
即可得 ，所以 .
故答案为：
14.【答案】
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
15.【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）由正弦定理得 .
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因为 ，所以， ， .
因为在 中， ，所以， .
（2）由 ， 及余弦定理 .
得 ，解得 或 （舍）
所以， .
16.【答案】(1) (2)
f(x)的极大值为f(1)=0,无极小值；
【 详 解 】 (1) 函 数 的 定 义 域 为 ， 则
.
1−x
当 时，
f'(x)= =0
，得 ，
x2 x=1
x∈(0,1)时， {f' (x)>0,f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时， {f¿ ' (x)<0,f(x)单调递减¿
当
∴f(x)的极大值为f(1)=0,无极小值；
(2)由（1）知，当 时，函数 在 上单调递减，
此时， ；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时， ；
当 时，函数 在 上单调递增，此时， .
1111
综上所述， .
17．【答案】(1) ， ; (2)
【详解】（1）由题意得 解得
所以 的方程为 ．
的离心率为 ．
（2）由题意知直线 的方程为 ，
联立得 得 或 所以
观察可知 是等腰三角形，且 与 轴平行，所以
．
18.【答案】(1) , ; (2) , ;(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 .
当 时， 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，①
当 时， 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，②
1212
由①②，解得 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
则 ，对于方程 ，
由韦达定理得 ，即 ，
（3） ，
所以
.
19.【答案】（1） ；（2） ； （3） .
【详解】(1)函数 的导函数为 ，
因为函数 ， 是“ 跃点”函数，
则方程 有解，即 有解，
而 ，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
(2)函数 的导函数为 ，
在
依题意，方程 ，即 上
有两个不等实根，
令 ，因此函数 在 上有两个不同零点，
则 ，解得 或 ，
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所以实数 的取值范围是 .
(3)函数 的导函数为 ，
因为函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程 ，显然 ，所以 在上恰有一个实根，
令 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 且 ， ，
于是函数 在 上单调递减， 恒成立，函数 的取值集合是
；函数 在 上单调递减，函数 的取值集合是 ；
函数 在 上单调递增，函数 的取值集合是 ，
函数 的图象，如图，
当 时，直线 与函数 的图象有唯一
公共点，即方程 恰有一个实数根，从而 ，
所以b的取值范围为 .
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