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保密★使用前
泉州市 2025 届高中毕业班质量监测（一）
2024.08
高 三 数 学
本试卷共 19 题，满分 150 分，共 8 页。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 ．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）
内 作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3 ．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标
号； 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清
楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的。
1 ．设集合
A ． {0,1} B ． {0,1, 4} C ． {0,1, 4,9} D ． {1, 4,9,16}
【命题意图】本小题主要考查集合的运算、不等式等知识；考查运算求解能力等；考查函数
与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性，导向对发展数学运算等核心素
养的关注.
【试题解析】解法一：（排除法）因x = 0 符合题意，排除 D；因为x = 9 符合题意，排除
A，B； 故选 C .
解法二：因为A = = {x ∈ R ，所以A
， 故选 C .
2 ．若复数z 满足z(1一 i) = 1+ i ，则 z4 =
A ．1 B ．一1 C ．i D ．16
【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识；考查运算求解能力、推理
论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；体现基础性，导向对数学
运算等核心素养的关注.
高三数学试题 第 1 页（共 8 页）【试题解析】解法一：设z = a + bi(a, b ∈ R ) ，则(a + bi)(1一 i) = a + b+ (b一 a)i =
1+ i ， 解得a = 0 ，b = 1 ，所以z = i ，所以 z4 = 1，故选 A .
解法二：因为z = 1 + i ，所以z = = i ，z4 = 1，故选 A .
解法三：方程两边同时平方，有 z2 . (一2i) = 2i ，所以 z2 = 一1 ， z4 = 1 ，故选 A .
3 ．已知向量a, b, c 满足| a |=| b| ， a 与b 的夹角为 ，a + b + c = 0 ，则a 与c 的夹角为
A ． B ． C ． D .
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与
转化，数形结合等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：设| a |=| b|= 1 ，由题得c = 一a一 b ，所以
a . c = a . (一a 一 b) = 一a 一 a . b = 一 | a | 一 | a | . | b |τ c o s = 1一 1 一
2 2
= 一 ， 3
2 2
c2 = (一a 一 b)2 = a2 + 2a . b + b2 = 3 ，所以| c |= 3 ，
所以cos < a, c >= = 一 ，又< a, c >∈ 所以< a, c >=
故选 D .
解法二：建立直角坐标系，设| a |=| b|= 1 ，则a = (1,0) ，b = ( 1 , ) ，
2 2
所以c = 一a 一 b = ，所以a . c = 一 ，| c |=
所以cos < a, c >= = 一 ，又< a, c >∈
所以< a, c >=
故选 D .
解法三：运用向量运算的几何表示，构造平面图形，观察图形可快速得解.
4 ．若sinθ + cosθ = 2 ，则 tanθ =
A ．一 B ．一 C ． D .
高三数学试题 第 2 页（共 8 页）【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变换等知识，考查运算求解能力
等， 考查函数与方程思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展直观
想象、
高三数学试题 第 2 页（共 8 页）数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：（特殊法）由题知sinθ = ， cosθ = 满足条件，所以tanθ =
.
故选 C .
解法二：由题得 sinθ + cosθ = 1 ，所以
所以 = 2kτ + k ∈ Z ，所以θ =
2kτ + k ∈ Z tanθ = tan = tan ．故
选 C .
解法三：由题得sin2 θ + 2 sinθcosθ + 3cos2 θ = 4 ，
所以3sin2 θ — 2 sinθcosθ + cos2 θ = 0，即 2 =
0 ， 所以 sinθ — cosθ = 0 ，即tanθ = ．故选 C .
解法四：由题得sinθ = 2 — cosθ , 所以(2 — 3 cosθ)2 + cos2 θ =
1 ， 所以4cos2 θ — 4 cosθ + 3 = 0，即 ，
所以cosθ = ，sinθ = 2 — cosθ = 所以tanθ = ．故选 C .
解法五：观察sinθ + cosθ = 2 ，知sin cosθ 同正，θ 为第一象限角，其
正 切值为正，排除 A ，B ． 若 tanθ = ，可取 则sinθ + cosθ
= ，
不符合已知条件，排除 D，故应选 C .
4,
5 ．若函数 在R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是
A. (0,1) B ．(1, 4] C ．(1,8] D ．(1,16]
【命题意图】本小题主要考查分段函数、基本初等函数、函数的单调性等知识，考查运算求
解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、转化和化归的思想等，体现
基础性和综合性，导向对发展数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关
注.
高三数学试题 第 3 页（共 8 页）【试题解析】由指数函数的底数要求只讨论a > 0 且a ≠ 1，
高三数学试题 第 3 页（共 8 页）由题意得 一 3 为单调递增，故0 < a≤16 ，
又x < 4 时，f (x) = ax一3 为单调递增，故a > 1 ，
再由a1 ≤4+ 一1 ，即得a≤4 ，综上，1 < a≤4 ，
故选 B .
6 ．已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上、下底面边长分别为 , 2 ，高为3 ，则
该
球的表面积为
A ．40τ B ．20τ C ．16τ D .
【命题意图】本小题主要考查多面体、球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求
解能力等，考查数形结合、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向
对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球球O 的大圆（如下图），对角
面 为等腰梯形AA ' C ' C ，其上下底边长分别为2, 4 ，高为3 ，由正四棱台的
对称性
可知，球O 的球心O 在梯形上下底的中点连线OO 所在直线上，设OO = d
1 2 1
，则 OO =|3 一d | ，设球O 半径为OC ' = R = OC ，再由Rt△OO C ' ，
2 1
Rt△OO C 可得
2
R2 | 3 一 d | 2 +22 = d2 +12 ，解得d = 2, R = · ,所以所求的球O 的表面积为
4τR2 = 20τ .
解法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径R≥2（下底对角线长的一
半）， 表面积4τR2 ≥16τ ,排除 D；
对角面等腰梯形AA ' C ' C 的对角线长3 ，故球半径 表面积4τR2 >18τ ,
排除 C；
高三数学试题 第 4 页（共 8 页）若4τR2 =40τ , 则R = 易求球心到A ’ C ’的距离为d = 3 ，球心到AC 的
1
距
高三数学试题 第 4 页（共 8 页）离为d = · ,无法满足|d + d |= h = 3 ，或|d 一 d |= h = 3 ，故 A 不正
2 1 2 1 2
确. 故选 B .
7 ．已知函数f (x) 满足f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy ，若f (1) = 1 ，则 f (25) =
A ． 25 B ．125 C ．625 D ．15625
【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质、递推数列等基础知识；考查推理论证、运算
求解等能力；考查化归与转化、特殊与一般的函数思想；体现基础性，综合
性， 导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：由题意取x = n(n∈ N), y = 1 ，可
得 f (n +1) = f (n) + f (1) + 2n
= f (n 一1) + 2f (1) + 2(n 一1) + 2n
= f (n 一 2) + 3f (1) + 2(n 一 2) + 2(n 一1) + 2n
= . . .
= (n +1)f (1) + 2(1 + 2 + . . .
+ n) = (n +1)f (1) + n(n + 1)
即知f (n) = nf (1) + n(n 一1) = n + n(n 一1) = n2 ，则f (25) =
625 . 故选 C .
解法二：令g(x)=f (x) 一 x2 , 则g(x + y) = f (x + y) 一 (x + y)2
= f (x) + f (y) + 2xy 一 (x + y)2 = f (x) + f (y) 一 x2 一 y2 = g(x) + g(y)
， 所以g(n) = g(n 一1) + g(1) = . . . = ng(1) = n(f (1) 一12 ) = 0 ，
即g(n) = f (n) 一 n2 = 0 ，所以f (n) = n2 ，则 f (25) = 625 ．故选 C .
解法三：由f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy 可构造满足条件的函数f (x) = x2 ，
可以快速得到f (25) = 625
. 故选 C .
8 ．已知函数 = cos x + cos 2x + cos 3x ，则
A . τ 是f(x) 的一个周期 B ．x = τ 是f(x) 图象的一条对称轴
C ． ( , 0) 是f (x) 图象的一个对称中心 D ．f (x) 在区间(0, τ) 内单调递减
【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论
高三数学试题 第 5 页（共 8 页）证能力、运算求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化
思想等；体现基础性、综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数
学抽象等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：（排除法）因为f = cos τ + cos 2τ + cos 3τ = 一1+ 一 = 一
= cos 0 + cos 0 + cos 0 = 1 + ，所以f ，故 A 错
误；
同理f (τ) ≠ 一f (0) ，故 C 错误；
因为 = cos cos τ + =
一
所以 ，故 D 错误.
故选 B .
解法二：因为f = cos cos 2 cos 3
所以f (x + τ) ≠ f (x) ，故 A 错误；
= 一 cos x + cos 2x 一 cos 3x ，所以f ，故 B 正确；
因为 = cos cos 2 cos 3 = cos x + cos 2x + cos 3x ，
所以一f (一x) ≠ f (x + τ) ，故 C 错误；
因为f ’(x) = 一sin x 一 sin 2x 一 sin 3x = 一[sin(2x 一 x) + sin(2x + x)] 一 sin 2x
= 一2sin 2x.cos x 一 sin 2x = 一sin 2x. (2cos x +1)
所以当 时，sin 2x > 0 ，2 cos x + 1 > 0 ，此时f ’
同理当 时，f ’ 当x∈ ( , τ)
时，f ’(x) < 0 ；
高三数学试题 第 6 页（共 8 页）τ τ 2τ
所以f (x) 在(0, ) 上单调递减，在( , ) 上单调递增，
2 2 3
高三数学试题 第 6 页（共 8 页）在 上单调递减，故 D 错误；
故选 B .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办
了“诵 读国学经典，传承中华文明 ”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一
年和高二 年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说
法正确的是
高一年抽测成绩 高二年抽测成绩
A ．高一年抽测成绩的众数为 75
B ．高二年抽测成绩低于 60 分的比率为2.5%
C ．估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分
D ．估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数
【命题意图】本小题主要考查频率分步直方图、样本的数字特征等基础知识；考查数据分析
与处理、运算求解等能力；考查化归与转化、或然与必然等思想；体现基础性
与应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注.
【试题解析】选项 A：高一年学生成绩的众数为区间[70,80]的中点横坐标，故 A 正
确. 选项 B ：高二年学生成绩得分在区间[40,60) 的学生人数频率为
(0.0025 + 0.0025) ×10 = 0.05 ，所以低于 60 分的比率为5% ，故 B 错
误； 选项 C ：高一年学生成绩的平均数约为
高三数学试题 第 7 页（共 8 页）45 × 0.04 + 55 × 0.11 + 65 × 0.18 + 75 × 0.35 + 85 × 0.22 + 95 × 0.1 =
74 分； 高二年学生成绩的平均数约为
45 × 0.025 + 55 × 0.025 + 65 × 0.1 + 75 × 0.25 + 85 × 0.4 + 95 × 0.2 =
80.75 分. 因为74< 80.75 ，故 C 正确.
选项 D ：高一年学生成绩的中位数位于[70,80) ，高二年学生成绩的中位数位
于
[80,90) ，故 D 正
确. 故选 ACD .
10 ．已知函数f (x) = ax3 - bx + 1 ，则
A ．f (x) 的值域为R
B ．f (x) 图象的对称中心为(0,1)
C ．当ab < 0 时，f (x) 无极值
D ．当b - 3a > 0 时，f (x) 在区间(-1,1) 内单调递减
【命题意图】本小题主要考查导数的应用、函数的基本性质等基础知识；考查推理论证、运
算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现基础性与综合性，导
向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.
【试题解析】A 选项：当a, b至少一个不为 0 ，则函数f (x) 为三次函数或者一次函
数， 值域均为R ；当a, b 均为 0 时，值域为{1} ，故 A 错误.
B 选项：函数g(x) = f (x) -1 = ax3 - bx 满足g(-x) = -ax3 + bx = -g(x)
， 可知g(x) 为奇函数，其图象关于 (0, 0) 中心对称，
所以f (x) 的图象为g(x) 的图象向上移动一个单位后得到的，
即关于(0,1) 中心对称，【或者用f (x) = 2 - f (-x)验证】，故 B 正确.
C 选项：f ’(x) = 3ax2 - b ，当 ab < 0 时，3ax2 - b恒大于0 或者恒小于0 ，
所以 函数f (x) 在R 上单调，无极值．故 C 正确.
D 选项：f ’(x) = 3ax2 - b ，当b - 3a > 0 时，取a = -1, b = -1 ，当x∈(-1,1)
时， f ’(x) = -3x2 + 1 ，f (x) 在区间(-1,1) 上不单调．D 选项错误；
另一方面，当b < 0 时，f ' = 3ax2 - b≥0 -1< - < 1 ，f 在
高三数学试题 第 8 页（共 8 页）[
b ]( (—1,1)) 单调递增. 故 D 错误.
3a 3a
故选 BC .
11 ．在平面直角坐标系xOy 中，已知 F (—1,0), F (1,0) ，M(x, y) 是动点．下列命题正确的是
1 2
A ．若| MF | + | MF |= 2 ，则 M 的轨迹的长度等于 2
1 2
B ．若 MF — MF = 1 ，则 M 的轨迹方程为4x2 —
1 2
C ．若| MF | . | MF |= 4 ，则 M 的轨迹与圆x2 + y2 = 6 没有交点
1 2
= 2 ，则 的最大值为 3
【命题意图】本小题主要考查曲线与方程、向量数量积等基础知识；考查运算求解、推理论
证等能力；考查化归与转化、数形结合、函数与方程等思想；体现基础性、综
合性与创新性，导向对发展数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心
素养的关注.
【试题解析】选项 A：因为| MF | + | MF |= 2 =| FF | ，所以M 的轨迹为线段
1 2 1 2
FF ， 从而M 的轨迹的长度等于 2，故 A 正确.
1 2
选项 B ：因为 MF MF ,由双曲线的定义知，
1— 2
=
M 的轨迹是以F, F 为焦点的双曲线的右支，而结论的方程中未限制范围，故
1 2
B
错误.（由c = 1, 2a = 1 ，得M 的轨迹方程为
选项 C：解法一：由|MF | . | MF |= 4 ，得 · (x +1) 2 + y2 . (x—1) 2 + y2 = 4 ，
化简 1 2
2 — 4x2 = 16,
得 2 — 4x2 = 16 ，联立 得x2 =
这与x2 ≤6 矛盾，所以方程组无解，故M 的轨迹与圆x2 + y2 = 6 没有交
点， 故 C 正确.
解法二：若有交点M(x, y) ，则MF . MF = (—1 — x, — y) . (1 — x, — y) = x2 + y2 —1 = 5 ，
1 2
又MF . MF =| MF | . | MF | cos < MF , MF >= 4 | cos < MF , MF > ≤4 ，矛
1 2 1 2 1 2 1 2
盾，所 以M 的轨迹与圆x2 + y2 = 6 没有交点，故 C 正确.
选项 D：
解法一：由 = 2 得，
高三数学试题 第 9 页（共 8 页）化简得 2 十 y2 =
所以M 的轨迹是以( , 0) 为圆心，半径为 的圆.
OM . OF 等于OM 在x 轴上的投影的长
2
度， 由图知其最大值为 3 ，故 D 正确.
解法二：同法一得M 的轨迹是以( , 0) 为圆心，半径为 的圆.
OM . OF = (x ,y) . (1,0) = x ，由圆的方程知x 可取到最大值
2
3， 故 D 正确.
解法三：由 = 2 得，
| MF | 一 | MF |=| MF | ≤| FF |= 2,| MO| ≤| OF | 十 | MF | ≤3 ，当M 在FF
1 2 2 1 2 2 2 2 1
的反向 延长线上时取等号.
① OM . OF =| MO | cos 7MOF ≤| MO |≤3 ；
2 2
②当M 在FF 的反向延长线上，且| MF |= 2 时，
2 1 2
满足条件 = 2 ，此时 .
所以OM . OF 的最大值为 3，故 D 正
2
确. 故选 ACD .
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ．若曲线y = ln x 在x = 2 处的切线与直线ax 一 y 十1 = 0 垂直，则a = .
【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、直线的位置关系等基础知识；考查运算求解、
推理论证等能力；考查化归与转化、数形结合、函数与方程等思想；体现基础
性与应用性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.
【试题解析】由题意得函数y = ln x 的导函数为 ，故在x = 2 处切线的斜率为
， 直线ax 一 y 十1 = 0 的斜率存在为a ，根据题意得 . a = 一1 ，解
得a = 一2 .
故答案为一2 .
13 ．过双曲线E 的两个焦点分别作实轴的垂线，交 E 于四个点，若这四个点恰为一个正方
形
高三数学试题 第 10 页（共 8 页）的顶点，则 E 的离心率为 .
【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质等基础知识；考查运算求解、推理论证等能
力；考查化归与转化、数形结合、函数与方程等思想；体现基础性与综合性，
导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：不妨设双曲线
令x = c ，可得y = ±
所以| AB |= .
依题意可得，| AB|=| | ，所以 ，
又b2 = c2 - a2 ，所以c2 - ac - a2 = 0 ，解得：
又因为c > a > 0 ，所以e = 故答
案为 .
解法二：如右图，连结AF ，在 Rt△AFF 中，
1 1 2
| FF |= 2c,|| AF | - | A F ||= 2a = 5c - c = ( 5 -1)c ，
1 2 1 1 2
所以离心率
故答案为 .
解法三：| F F |= 2c ，依题意知A(c, c) 在曲线上，故
1 2
， 整理得e4 - 3e2 +1 = 0 ，e2 =
所以
故答案为 .
14．如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1 到8 ．
将 该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数
字， 则这三个数恰好构成等差数列的概率为 .
高三数学试题 第 11 页（共 8 页）【命题意图】本小题主要考查古典概型、计数原理等基础知识；考查推
理论证、运算求解等能力；考查分类与整合、或然与必然等思想；体现基础性
高三数学试题 第 11 页（共 8 页）与应用性，导向对发展数据分析、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养
的关注.
【试题解析】由题意可知所有可能情况共有83 种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为—3, —2, —1,0,1, 2,3 分类，其中公差为—3, —2, —1 和3, 2,1 的做
法数对 应相等.
公差为 0 的有(1,1,1),(2, 2, 2),...,(8,8,8) 共8 种做法；
公差为1 的有(1, 2,3),(2,3, 4), (6,7,8) 共 6 种做法，同公差为 —1 的；
公差为 2 的有(1,3,5),(2, 4,6),(3,5,7),(4,6,8) 共 4 种做法，同公差为 —2
的； 公差为3 的有(1, 4,7),(2,5,8) 共 2 种做法，同公差为 —3 的；
所以三个数恰好构成等差数列的概率
故答案为 .
高三数学试题 第 12 页（共 8 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15 ．（13 分）
△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已知
（1）求 A ；
（2）若 7BAC 的角平分线与BC 交于点D ，AD = 2 ， AC = 2 ，求a + c .
【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求
解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想等，体现基础性和综合性，导
向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注。
【试题解析】（1）依题意，由正弦定理可得 ····1 分
所以sin C sinB sin( A B) ， ·······················································2 分
又sin C sin[τ (A B)] sin(A B) ， ···············································3 分
所以sin B sin(A B) sin(A B) 2cosAsin B ， ································4 分
因为B e (0, τ) ，所以 sin B 0 ，所以cosA ， ······························· 5 分
又A e (0, τ) ，所以 A . ·····························································6 分
（2）解法一：如图，由题意得，S S S ， ·····················8 分
△ABD △ACD △ABC
1 τ 1 τ 1 τ
所以 c ADsin b ADsin b csin , ··································10 分
2 6 2 6 2 3
又 所以 ， ·····················································11 分
所以a2 b2 c2 2bccos 9 ，即 a - 3 ， ········································12 分
高三数学试题 第 13 页（共 8 页）所以 a c 3 . ·····································································13 分
解法二：如图， △ACD 中，因为AD 2 ， AC 2 ， ，
由余弦定理得， CD2 4 ， ·····················8
分
所以 CD AD 2 ， ······································································9
分
所以 ， ···································································10
分
所以 ， ·······························································11
分
所以 ， ··············································12
分
所以 a c 3 . ·····································································13 分
16 ．（15 分）
如图，在圆柱OO 中，AD, AB 分别为圆柱的母线和下底面的直径，C 为底面圆周上一
1 2
点.
（1）若 M 为BC 的中点，求证： O M // 平面ACD ；
1
若 AC = 1 ，BC = ，圆柱 的体积为 τ ,求二面角B - O C - A的正弦值.
1
【命题意图】本小题主要考查旋转体的体积、直线与平面的位置关系、求二面角等基础知识；
考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基
础性和综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.
高三数学试题 第 14 页（共 8 页）【试题解析】（1）解法一：如下图，取AC 中点N ，连结MN, O D, DN ，
1
M, N 分别为BC, AC 的中点， ································1
分
高三数学试题 第 14 页（共 8 页）: MN∥AB ，MN = AB = AO ， ······························2 分
2
又 圆柱上下底面平行，
且与平面AO O D 交于AO 和 O D ，
2 1 2 1
: AO ∥O D ，且 AO =O D ， ······································3 分
2 1 2 1
又MN∥O D 且MN=O D ，
1 1
: 四边形MNDO 为平行四边形， ··································4 分
1
: O M∥ND ， ··························································5 分
1
又O M 丈 平面ACD ，ND 平面ACD
1
: OM // 平面ACD . ·················································6 分
1
解法二：连结MO ，
2
圆柱的母线AD 与旋转轴O O 平行， ··························1 分
1 2
又OO 丈 平面ACD ， AD 平面ACD ，
1 2
: O O ∥ 平面ACD ， ·················································2 分
1 2
'.' M , O 分别为BC, AB 的中点，
2
: MO ∥AC ， ··························································3 分
2
又MO 丈 平面ACD ， AC 平面ACD ，
2
: MO ∥平面ACD ， ·················································4 分
2
又OO ,MO 平面OOM ，OO MO = O ，
1 2 2 1 2 1 2 2 2
:平面ACD∥ 平面O O M ， ········································5 分
1 2
又O M 平面O O M ，
1 1 2
: O M // 平面ACD . ·················································6 分
1
高三数学试题 第 15 页（共 8 页）（2） AC = 1 ，BC = 为底面直径，
: 上ACB = 90 ， AB = 2 ，
又圆柱OO 的体积为V = Sh = τ . AO 2 . OO = τ ,
1 2 2 1 2
得到OO = 1 . ··························································7 分
1 2
解法一：过C 作CE 丄 平面ABC ,则 CE 丄 CA, CE 丄 CB ，
又CA 丄 CB ，以C 为原点， CA, CB, CE 所在直线分别为x 轴、
y 轴、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， ··············8 分
9 分
··············
设平面CBO 的法向量为m = (x, y, z )
1 1 1 1
， 平面CAO 的法向量为n = (x , y , z
1 2 2 2
) ，
y = 0 ，得到y = 0 ，
1 1
y + z = 0 ， ······10 分
1 1
高三数学试题 第 16 页（共 8 页）取x = 2, z = -1 ，可得m =(2,0, -1) ， ···························11 分
1 1
又n . CA = (x, y, z ) . (1,0,0) = 0 ，得到x = 0 ，
2 2 2 2
y + z = 0 ， ···12 分
2 2
取y = 2 , z = - 可得 ， ·······················13 分
2 2
设二面角B - O C - A 的大小为θ ,
1
则| cosθ |= ， ······························14 分
即二面角B - O C - A 的正弦值为 . ·······················15 分
1
解法二：如下图，连结MO ，过O 作OI 丄 OM ，垂足 I
2 2 2 1
， 取 AC 中点N ，连结O N ，过O 作O J 丄 O N ，垂足
1 2 2 1
J ，
平面O IJ 交直线O C 于点K ，连结O K, IJ ，
2 1 2
M , O 分别为BC ，AB 的中点，
2
: MO ∥AC ，又 AC 丄 BC ，
2
: MO 丄 BC ， ·························································8 分
2
OO 丄 平面ABC ，
1 2
: O O 丄 BC ，又MO O O = O ，
1 2 2 1 2 2
: BC 丄 平面O O M ， ···············································9 分
1 2
O I 平面O O M ， : BC 丄 O I
2 1 2 2
， 又OI 丄 OM ，BC OM = M ，
2 1 1
: O I 丄 平面BCO ，
2 1
同理可证O J 丄 平面ACO ，
2 1
: O I 丄 O C, O J 丄 O C, ，又O I O J = O ，
2 1 2 1 2 2 2
: O C 丄 平面O IJ ，即O C 丄 平面O IKJ ， ···················10 分
1 2 1 2
: O C 丄 IK, O C 丄 JK ， ·············································11 分
1 1
: 上IKJ 为二面角B - O C - A 的平面角， ·······················12 分
1
高三数学试题 第 17 页（共 8 页）在 O M 中， O = 1, O M = ，:O I =
2 2 2 2
， 在 O N 中， O = 1, ON = , OM = ， :O J
2 2 2 1 2
= 在 O C 中， O O = 1, O C = 1, O C =
2 1 2 2 1
，:O K = ··
2
·············································································13 分
:在平面四边形O IKJ 中，如下图， O I 丄 IK, O J 丄 JK ，
2 2 2
: 上IKO = α, 上JKO = β,
2 2
则sinα = , cosα = ,sin β = , cos β = ，
·······14 分
即二面角B - O C - A 的正弦值为 . ·······················15 分
1
高三数学试题 第 18 页（共 8 页）17.（15 分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为F , F ，离心率为 ，且经过点
1 2
（1）求 E 的方程；
（2）过F 且不垂直于坐标轴的直线l 交E 于 A, B 两点，点M为 AB 的中点，记△MF F
1 1 2
的
面积为S ， △BFF 的面积为S ，求 的取值范围.
1 1 2 2
2
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算
求解、推理论证等能力；考查化归与转化、数形结合、函数与方程等思想；体
现基础性与综合性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注.
【试题解析 因为e2 = ， ······················································1
分
所以5a2 = 9b2 ， ···········································································2
分
因为点(2, ) 在椭圆上，所以 = 1 ， ·······································3
分
即 = 1 ，解得a2 = 9 ， ·························································4
分
所以b2 = 5 ， ···············································································5
分
所以椭圆E 的方程为 . ·····················································6 分
【若方程求错，能体现 = 1, c2 = a2 - b2 各得 1 分】
（1）解法一：
由（1）得F (-2,0) ，依题意设l : x = my - 2（m≠0）， ·····························7
1
分
1,
由 消去x ，得 y2 - 20my - 25 = 0 ， ·························8 分
高三数学试题 第 19 页（共 8 页）,
设 ，则 ······································9 分
设 ，则y =
o
高三数学试题 第 19 页（共 8 页）, ·········································10 分
即 ································································11 分
因为m2 > 0，所以 0 < < ，所以- < < 0 ··················12 分
所以- 1 6< y 1 + + 2< 0 ，
5 y y
2 1
令 = t(t < 0且t ≠ -1) ， ·······························································13 分
16 1 1
则- < t + + 2 < 0 ，解得-5 < t < - ，且t ≠ -1 ， ................14 分
5 t 5
所以0 < t + 1 < 2 ，所以 的取值范围为(0, 2) . ·····························15 分
解法二：
由（1）得F (-2,0) ，依题意设l : y = k(x + 2)(k ≠ 0) ， ····························7 分
1
由 消去y ，得 x2 + 36k2x + 36k2 - 45 = 0 ， ················8 分
设 ，则 ，
,
所以 ·············································9 分
设M(x o, y
o
) ，则 y
o
= ，
高三数学试题 第 20 页（共 8 页）, ····························10 分
令 ， ·······························································11
分
,
则y = ty 代入 可得，
1 2
消去y 得： ， ······················································12
2
分
因为k2 > 0 ，所以- < 0 ， ··············································13
分
所以 解得-5< t < - ，且t ≠ -1 ， ·························14
分
所以 所以 的取值范围为(0, 2) . ·····························15
分
18 ．（17 分）
已知曲线 C : y = ln x ， C : y = ex .
1 2
（1）证明：ex > ln x ；
（2）若曲线E 关于直线l 对称的曲线为E ，则称l 为E 与E 的一条对称轴.请写出C
1 2 1 2 1
与 C 的一条对称轴，并探究是否存在其它的对称轴；
2
（3）已知 A, B 是C 上的两点，A, B 是C 上的两点，若四边形ABB A 为正方形，其周
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
长为L ，证明：L > 4 - 2 ．（参考数据：ln 2 ≈ 0.693, ≈ 1.649 ）
【命题意图】本题主要考查基本初等函数、函数的单调性与对称性、导数的几何意义、导数
的应用等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化、数形
高三数学试题 第 21 页（共 8 页）结合、函数与方程等思想；体现基础性、综合性与应用性，导向对数学运算、
直观想象、逻辑推理等核心素养的关注.
【试题解析】解法一：（1）要证原命题，只需证ex - ln x> 0 ，
设函数F(x) = ex - ln x ，其导函数为 = ex - , x > 0 ， ···························1
分
高三数学试题 第 21 页（共 8 页）显然F’(x) 在(0, +∞) 单调递增，
且F’( ) = — 2 < 0 ，F’(1) = e —1 > 0 ， ··············································2 分
1
x
故存在唯一的x ∈ ( ,1) 满足F (x ) =’ 0 ， 即 e = 0 ， ··························3 分
0 2 0 x
0
从而可得在(0, x ) F’(x) < 0 F(x) 单调递
0
减； 在(x , +∞) F’(x) > 0 F(x) 单调递
0
增；
所以F(x) 在x = x 处取到最小值F(x ) = ex0 — ln x ， ·····························4 分
0 0 0
x
其中e0 = ，即x = — ln x ，
0 0
所以 + x ≥2> 0 . ·······························································5 分
0
故本题得证.
（2） C 与C 的一条对称轴为直线l : y = x ， ·······································6 分
1 2
且l 是C 与C 的唯一对称轴， ··························································7 分
1 2
证明如下：由（1）分析得ex ≥1+ x ，当且仅当x = 0 时取等
号， 即曲线C 与直线l : y = x + 1相切于点Q(0,1) ，
2 2
且曲线C 在直线l 的上方（除点Q ）； ···············································8 分
2 2
同理曲线C 与直线l : y = x —1 相切于点P(1,0)
1 1
， 且曲线C 在直线l 的下方（除点P ）；
1 1
而平行线l , l 的距离为 ， ····························································9 分
1 2
故曲线C 上的任意点与C 上任意点的距离不小于
1 2
， 注意到P, Q 两点距离恰为 ，
故可得结论①：曲线C 上的任意点与C 上任意点的距离最小值为 ，
1 2
当且仅当这两点分别为P, Q 时取到. ·················································10 分
反证法：假设C 与C 存在除l 以外的其它对称轴
1 2
l’， 那么P 关于l’的对称点P’，
注意到P, Q 两点关于直线l : y = x 对称，故 P’在C 上且异于点Q ，
2
同理Q 关于l’的对称点Q’，其中Q’在C 上且异于点P ，
1
根据对称性可得 2 = |PQ| = |P’Q’| ，
高三数学试题 第 22 页（共 8 页）这与①矛盾，故假设不成立. 故l 是C 与C 的唯一对称轴. ···················11 分
1 2
（3）由题意，不妨设A (x ,ln x ) ，B (x , ln x ) ，B (x, ex3 ) ， A (x, ex4 )
1 1 1 1 2 2 2 3 2 4
， 其中x < x < x , x < x < x ，
4 1 2 4 3 2
并由（2）分析得A , B 分别与A , B 关于直线y = x 对称，
1 1 2 2
可得A A 丄 l ，BB 丄 l ，且 x = ex3 , ln x = x , x = ex4 , ln x = x ， ···········12
1 2 1 2 2 2 3 1 1 4 分
由正方形可得|BA | = |BB | ，即 2 (x — x ) = 2 (x
1 1 1 2 2 1 2
— x ) 所以x = x ，即正方形对角线AB 丄 x 轴，
3 1 3 1 2
因为|BB | = |AB | ，即 2 (ex 3 — ln x ) = 2 (ln x — ln x )
1 2 1 1 2 2 1
即
分
ex3 + ln x
1
= 2ln x
2 ...
② , ·······························································13
又因为x = x ，ln x = x ，所以②式可化为ex1 + ln x = 2x
1 3 2 3 1 1
故x 为方程ex + ln x — 2x = 0的根， ...............................14 分
1
即H(x) = ex + ln x — 2x(x > 0) 的零点为x ，
1
所以H(x) 在(0, +∞) 单调递增，
且H( ) = — ln 2 —1< 0 ，h(1) = e — 2 > 0 ，
所以 < x < 1 ， ············································································15 分
1
所以正方形的边长|B B | = |ex3 — ln x | = ex1 — x ， < x < 1 ，·················16 分
1 2 2 1 1
令φ(x) = ex — x(x > 0) ，且|BB | = φ(x ) ，
1 2 1
φ’(x) = ex —1 > 0 ，所以φ(x) 在(0, +∞) 单调递增，
则 即正方形的边长大于 — ，
所以正方形的周长L > 4 — 2 . ·························································17 分
解法二：（1）对任意x > 0,ln x < ex ，即证ex — ln x > 0 ，
先证明：ex —1≥x，即证 ex — x —1≥0 ， ···············································1 分
设h(x) = ex — x —1，其导函数h'(x) = ex —1 ， ·········································2 分
在区间(—∞,0), h'(x) < 0 ，h(x) 单调递减；
高三数学试题 第 23 页（共 8 页）在区间(0, +∞), h'(x) > 0 ，h(x) 单调递增；
故当且仅当x = 0 时 h(x) 取到最小值h(0) = 0 ， ····································3
分
所以h(x)≥0 ，即 ex — 1≥x ；
同样也可得elnx —1 ≥ ln x，即 x —1 ≥ ln x ，即 x ≥ ln x + 1 ，
·························4 分
所以ex —1 ≥ ln x +1 ，即 ex — ln x≥2 > 0 ，
·············································5 分
本题得证.
（2）同解法一；
（3）同解法一.
19 ．（17 分）
已知正整数p, q 满足p≤q ，正整数 满足a ≤p ， = pq ．对于确
i
定的 正整数 p, q ，记 的最小值为 f (p, q) ．例如： 当 p = 2, q = 3 时， 2 × 3 = 22
+12 +12 或 2 × 3 = 12 +12 +12 +12 +12 +12 ， a = 4 或6 ，f
i
当p = q = 3 时，写出 的所有值及f (3,3) 的值；
（2）探究f (3,3k + 1) (k ∈ N*) 的值；
证明： .
【命题意图】本题主要考查整数的离散性、数列的求和、不等式等知识，考查阅读理解能
力、 逻辑思维能力与创新能力等关键能力；考查数形结合思想、转化与化归
思想； 体现综合性、应用性与创新性，彰显高考的选拔特点，导向对发展数
学抽象、 逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.
【试题解析】
（1） 的所有值为：3,5,7,9 ， ···································4 分【写对 1 个得 1
分】
所以f (3,3) = 3 . ·············································································5 分
（2）当k = 1 时，探究展示如下表：
12 1 22 4 32 9
= = = Σ a
i
i1
项数 λ 3 0 1 6
高三数学试题 第 24 页（共 8 页）高三数学试题 第 24 页（共 8 页）项数 λ 0 3 0 6
项数 λ 4 2 0 8
项数 λ 8 1 0 10
项数 λ 12 0 0 12
由上表可知，f (3, q) = f (3, 4) = 6 = 3 + 3 = 4 +
2 . 当k = 2 时，探究展示如下表：
12 1 22 4 32 9
= = =
项数 λ 3 0 2 9
项数 λ 0 3 1 9
项数 λ 4 2 1 11
项数 λ 8 1 1 13
项数 λ 12 0 1 15
项数 λ 1 5 0 11
项数 λ 5 4 0 13
项数 λ 9 3 0 15
项数 λ 13 2 0 17
项数 λ 17 1 0 19
项数 λ 21 0 0 21
由上表可知，f (3, q) = f (3,7) = 9 = 6 + 3 = 7 + 2 .
··················································
··················8 分【探究过程 2 分，结论 1 分；两特例展示 1 个即可给 3 分】
12 1 22 4 32 9 f (3,3k +1)
= = =
k = 1 3 0 1 6
k = 2 3 0 2 9
k = 3 3 0 3 12
„„
高三数学试题 第 25 页（共 8 页）k = n 3 0 n 3n + 3
猜想q = 3k +1 (k ∈ N*) 时，f (3, q) = f (3,3k +1) = 3k + 3 = q + 2 .
······························
······································································· 9 分【结论正确 1 分】
证明如下：
a , a , , a 的各项的取值只有1, 2,3 三种可
1 2 n
能， 记其中取值为1, 2,3 的项数分别为λ ,λ
1 2
,λ .
3
取 = k ，有 = 3×12 + k × 32 = 9k
+ 3 ， 此时 a = 3×1 + k × 3 = 3k + 3 .
i
假设3k + 3 不是 的最小值，则存在λ ' ,λ ' ,λ ' ∈ N ，
1 2 3
使得λ' + 4λ' + 9λ' = 9k + 3 ，且λ' + 2λ' + 3λ' ≤ 3k + 2 .
1 2 3 1 2 3
消去k ，得2 ，
因为 ∈ N ，所以 或 或
则若 则 N ；
若 则
N ； 若 则
N .
故矛盾.
所以，3k + 3 是 的最小值，f (3, q) = (3k +1) + 2 = q + 2 .
····························12 分【证明方法不唯一；能讲出一定的理由可给 1 分】
（3）解法一：
高三数学试题 第 26 页（共 8 页）由 ····13 分【裂项放
缩】 要证 即证 ，
高三数学试题 第 26 页（共 8 页）因为左边 ·····························14 分【局部放缩】
2389 1
= — ····················································16 分【求和】
9 ×16 × 25 n +1
. ··················································17 分【比大小】
故原不等式得证.
解法二：
由
. ················13 分【裂项放缩】
要证 即证 ，
因为左边 ·········································14 分【局部放缩】
< . ·····································································································1·17 6分 分【 比大
27
故原不等式得证.
解法三：
由
. ························14 分【裂项放缩】
因为左边 ······································15 分【写出求和式】
高三数学试题 第 27 页（共 8 页）·························································16 分
< . ································································17 分【比大小】
故原不等式得证.
高三数学试题 第 28 页（共 8 页）
