2025高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用（学生版）_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年04月试卷_04012025高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用（解析版）

导数及其应用 目录 题型一 切线、单调性及最值问题1 题型二 恒成立存在问题7 题型三 证明不等式12 题型四 双变量问题20 题型五 函数零点问题 23 题型六 利用导数比较大小及构造解不等式26 题型一 切线、单调性及最值问题 1.(2025·天津武清·一模)已知 fx 1  x2 =ex- ，曲线y=fx 2  在点P x 0 ,fx 0    x 0 >0  处的切线为l:y= gx  . (1)当 x =0时，求直线 l 的方程； 0 (2)证明: l与曲线y=fx  有一个异于点P的交点 x 1 ,fx 1    且x <0； 1 x (3)在(2)的条件下，令 - 1 =k，求k的取值范围. x 02.(2025·福建泉州·一模)设函数fx 2  =ex+1-x2-kx． (1)当k=0时，求曲线y=fx  在点 -1,f-1    处的切线方程； (2)若fx  在区间 -1,+∞  上单调递增，求k的取值范围； (3)当x≥-1时，fx  ≥f-1  ，求k的取值范围．3.(2025·山东泰安·一模)已知函数fx 3  e2x =ln +ax,a∈R. x (1)当a=1时，求函数fx  在 1,f1    处的切线方程； (2)讨论函数fx  的单调性； afx (3)若方程ex-1+  =(a+1)2有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. xex+e-x 4.(2025·甘肃兰州·一模)若函数y= (e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行，则切点的坐标 2 为 ( ) A. (1,0) B. (0,1) C. (1,1) D. (1,e) 5.(2025·黑龙江·一模)设函数fx 4  =x+a  lnx. (1)当a=1时，求曲线y=fx  在 1,f1    处的切线方程； (2)若fx  为增函数，求a的取值范围.6.(2025·山东聊城·一模)曲线y=xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) 1 A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 a 7.(2025·山东济宁·一模)曲线y= (a>0)与y=lnx和y=ex分别交于A,B两点，设曲线y=lnx在 x 5 A处的切线斜率为k ,y=ex在B处的切线斜率为k ，若k +k = ，则a= ( ) 1 2 1 2 2 A. 2ln2 B. 2ln3 C. 3ln2 D. 3ln3 8.(2025·江西萍乡·一模)已知函数fx 5  1 = e2x-a+2 2  ex+2ax+1，其中a∈R. (1)若fx  的图象在 0,f0    1 处的切线经过点 ,0 2  ，求a的值； (2)讨论fx  的单调性.9.(2025·黑龙江·一模)若不等式bx+1≤ex-ax2对一切x∈R恒成立，其中a,b∈R，e为自然对数的底 数，则a-b的可能取值为 ( ) 1 A. -2 B. - C. 1 D. 2 2 10.(2025·湖北·一模)已知e为自然对数的底数，函数hx 6  满足：h0  =0，hx  =ex-2ax-1，函数 fx  =ex-x， (1)求函数fx  的极值点和极值； (2)求hx  解析式； (3)若hx  在 0,+∞  上单调递增，求实数a的最大值； 1 (4)求证：f 2  1 +f 3  1 +f 4  1 +⋯+f n+1  n >n+ 4n+2  ，n∈N*.题型二 恒成立存在问题 11.(2025·广东江门·一模)意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链 所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是y= ce x c+e -x c 7  ，其中c为参数．当c=1时，该方程就是双曲余弦函数chx 2  ex+e-x = ．相应地就有双 2 曲正弦函数shx  ex-e-x = ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：sin2x+cos2x=1；②二倍角 2 (sinx)=cosx, 关系：sin2x=2sinxcosx；③导数关系：  (cosx)=-sinx. (1)类比关系式①②③，写出chx  和shx  之间的三种关系式(不需要证明)； (2)当x>0时，不等式shx  ≥kx恒成立，求k的取值范围； (3)设无穷数列a n  5 满足a =a,a =2a2-1，是否存在实数a，使得a = ？若存在，求a的值；若 1 n+1 n 2025 3 不存在，说明理由．12.(2025·江西·一模)已知函数fx 8  a(x+1) π = (a∈R)，将y=f(x)的图象绕原点O逆时针旋转 后，所 ex 4 得曲线仍是某个函数的图象，则a的取值范围为 . 13.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数fx  =x-a  lnx-x. (1)当a=e时，求fx  的单调区间； (2)设x 1 ,x 2x 1 ； 1 2 e 2 1+ae ②求证： 0  的切 线l n ，切点为P nx n ,y n  ，则下列结论正确的是 ( ) n 2025 A. k = B. lnx =-ln2026 n i 4n+2 i=1 y2 C. 数列   n x2 n  x 1-x 的前n项和为S =n+n2 D. n +cos n n 2y 1+x n n  >1 22.(2025·四川巴中·一模)已知函数fx  =xlnx． (1)求函数fx  的极值； (2)求证：当00 B. x ∈0, 1 4  C. x 2 是fx  的极小值点 D. 2x >x +x 2 1 3 24.(2025·江西南昌·一模)已知fx  =xlnx-1  -axa∈R  ． (1)若fx  在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若y=fx  有极大值m，求证：m<-4.e2x 25.(2025·北京延庆·一模)已知函数f(x)=- +(1-a)ex+ax. 2 (1)若a=1，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； (2)若a<-1，求f(x)的单调区间； (3)若a<-1，且f(m)=f(n)=0(m3. 1426.(2025·新疆乌鲁木齐·一模)已知fx 15  =x2-2xlnx-1. (1)求证：当x>1时，fx  >0； n 1 (2)设a = -lnn. n 1+k k=1 (ⅰ)求证：数列a n  为递减数列； (ⅱ)求证：a n  1 ≤ . 227.(2025·福建厦门·一模)设函数fx 16  =x(ex-a)2． (1)当a=0时，求fx  的单调区间； (2)若fx  是增函数，求a的取值范围； (3)当00. (1)讨论fx  的单调性； (2)若函数fx  有两个极值点x 1 ，x 2 (x 1 ln2- . 429.(2025·广东·一模)数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列a = n 1 1+ n 18  n n∈N*  1 的性质，对通项公式取对数得，lna =ln1+ n n  n ，则可通过研究函数y=ln1+x  1 x 的性质，得到数列lna n  的性质，进而得到a n  的性质.请根据以上材料，解决如下问题： (1)若不等式cx≥ln1+x  1 对任意x≥0恒成立，求实数c的取值范围，并证明：e>1+ n  n ； (2)是否存在常数a，使得：∀n∈N*有，1-a - n 1 < 2 0且a≠1)，y=fx a  关于y=x对称的函数记为y =gx  . (1)若a>1，方程fx  -gx  =0有且只有一个实数解，求a的值; (2)讨论方程gx  -xa=0在0,+∞  上实数解的个数; (3)若a=e，设函数Fx  =2 x-fx  ，若Fx 1  =Fx 2  x 1 ≠x 2  ，求Fx 1  +Fx 2  的取值范围.题型五 函数零点问题 34.(2025·湖南岳阳·一模)已知函数fx 23  ln1-x =    ,x<1 ,gx (x-2)2+a,x≥1  1 = 1-x e    ，若函数fx  与gx  的图 象有且仅有三个交点，则实数a的取值范围是 . 35.(2025·山东烟台·一模)已知函数fx  =x(x+c)2在x=1处有极大值. (1)求实数c的值； (2)若函数gx  =fx  +a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.36.(2025·四川内江·一模)已知函数fx 24  =2xlnx+ax2-x，则下列说法正确的是 ( ) A. 当a>0时，fx  在0,+∞  上是增函数 B. 当a=2时，fx  8 在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 5 C. 若fx  在0,+∞  上为减函数，则a≤-e -3 2 D. 当a<0时，若函数Fx  =fx  2 1 +ax有且只有一个零点，则a∈- ,- 5 3  37.(2025·北京延庆·一模)已知函数f(x)= lnx-1    -kx+2，给出下列四个结论： ①∃k<1，使得f(x)关于直线x=1对称； ②∃k>1，使得f(x)存在最小值； ③∀k>1，f(x)在(1,+∞)上单调递减； ④∃k>1，使得f(x)有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 38.(2025·陕西西安·一模)设函数f(x)=x2-(m+n)lnx-(m+n-2)x，其中mn>0，若f(x)有两个零 1 P 点且m+n取最小整数P时， + 的最小值为 ( ) m n 3+2 3 4+2 3 5+ 3 6+2 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 39.(2025·云南曲靖·一模)已知函数fx  =e2x+1-2a  ex-axa∈R  ． (1)当a=0时，求fx  在x=0处的切线方程； (2)讨论fx  的单调性； (3)若fx  有两个零点，求a的取值范围．40.(2025·安徽滁州·一模)已知函数fx 25  1 = x3+ax2-x-2alnx. 3 (1)若不等式fx  1 ≥ x3+x2-x恒成立，求实数a的取值范围; 3 (2)若a<0，求证：fx  有且只有1个零点.题型六 利用导数比较大小及构造解不等式 41.(2025·黑龙江·一模)已知实数x，y，z满足ex-e2=ex-2 26  ≠0，ey-e3=ey-3  ≠0，ez-e5= ez-5  ≠0，其中e为自然对数的底数.则x，y，z的大小关系是 ( ) A. x0  恒成立，则实数a的取值范围是 ( ) A. e,+∞  e3 B.  ,+∞ 3  C. 2 e,+∞  D. 1,+∞ 