2025高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用（学生版）_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年04月试卷_04012025高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用（解析版）

导数及其应用
目录
题型一 切线、单调性及最值问题1
题型二 恒成立存在问题7
题型三 证明不等式12
题型四 双变量问题20
题型五 函数零点问题 23
题型六 利用导数比较大小及构造解不等式26
题型一 切线、单调性及最值问题
1.(2025·天津武清·一模)已知 fx
1

x2
=ex- ，曲线y=fx 2  在点P x 0 ,fx 0    x 0 >0  处的切线为l:y=
gx  .
(1)当 x =0时，求直线 l 的方程；
0
(2)证明: l与曲线y=fx  有一个异于点P的交点 x 1 ,fx 1    且x <0； 1
x
(3)在(2)的条件下，令 - 1 =k，求k的取值范围.
x
02.(2025·福建泉州·一模)设函数fx
2
 =ex+1-x2-kx．
(1)当k=0时，求曲线y=fx  在点 -1,f-1    处的切线方程；
(2)若fx  在区间 -1,+∞  上单调递增，求k的取值范围；
(3)当x≥-1时，fx  ≥f-1  ，求k的取值范围．3.(2025·山东泰安·一模)已知函数fx
3

e2x
=ln +ax,a∈R.
x
(1)当a=1时，求函数fx  在 1,f1    处的切线方程；
(2)讨论函数fx  的单调性；
afx
(3)若方程ex-1+

=(a+1)2有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
xex+e-x
4.(2025·甘肃兰州·一模)若函数y= (e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行，则切点的坐标
2
为 ( )
A. (1,0) B. (0,1) C. (1,1) D. (1,e)
5.(2025·黑龙江·一模)设函数fx
4
 =x+a  lnx.
(1)当a=1时，求曲线y=fx  在 1,f1    处的切线方程；
(2)若fx  为增函数，求a的取值范围.6.(2025·山东聊城·一模)曲线y=xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
1
A. 4 B. 3 C. 1 D.
2
a
7.(2025·山东济宁·一模)曲线y= (a>0)与y=lnx和y=ex分别交于A,B两点，设曲线y=lnx在
x
5
A处的切线斜率为k ,y=ex在B处的切线斜率为k ，若k +k = ，则a= ( )
1 2 1 2 2
A. 2ln2 B. 2ln3 C. 3ln2 D. 3ln3
8.(2025·江西萍乡·一模)已知函数fx
5

1
= e2x-a+2
2
 ex+2ax+1，其中a∈R.
(1)若fx  的图象在 0,f0   
1
处的切线经过点 ,0
2
 ，求a的值；
(2)讨论fx  的单调性.9.(2025·黑龙江·一模)若不等式bx+1≤ex-ax2对一切x∈R恒成立，其中a,b∈R，e为自然对数的底
数，则a-b的可能取值为 ( )
1
A. -2 B. - C. 1 D. 2
2
10.(2025·湖北·一模)已知e为自然对数的底数，函数hx
6
 满足：h0  =0，hx  =ex-2ax-1，函数
fx  =ex-x，
(1)求函数fx  的极值点和极值；
(2)求hx  解析式；
(3)若hx  在 0,+∞  上单调递增，求实数a的最大值；
1
(4)求证：f
2

1
+f
3

1
+f
4

1
+⋯+f
n+1

n
>n+
4n+2 
，n∈N*.题型二 恒成立存在问题
11.(2025·广东江门·一模)意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链
所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是y=
ce
x
c+e
-x
c
7

，其中c为参数．当c=1时，该方程就是双曲余弦函数chx
2

ex+e-x
= ．相应地就有双
2
曲正弦函数shx 
ex-e-x
= ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：sin2x+cos2x=1；②二倍角
2
(sinx)=cosx,
关系：sin2x=2sinxcosx；③导数关系：
 (cosx)=-sinx.
(1)类比关系式①②③，写出chx  和shx  之间的三种关系式(不需要证明)；
(2)当x>0时，不等式shx  ≥kx恒成立，求k的取值范围；
(3)设无穷数列a
n

5
满足a =a,a =2a2-1，是否存在实数a，使得a = ？若存在，求a的值；若
1 n+1 n 2025 3
不存在，说明理由．12.(2025·江西·一模)已知函数fx
8

a(x+1) π
= (a∈R)，将y=f(x)的图象绕原点O逆时针旋转 后，所
ex 4
得曲线仍是某个函数的图象，则a的取值范围为 .
13.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数fx  =x-a  lnx-x.
(1)当a=e时，求fx  的单调区间；
(2)设x 1 ,x 2x 1 <x 2  是fx  的两个极值点，
2
①求证：x +x > ；
1 2 e
2 1+ae
②求证： <x -x <e-2+2a+1.
e 2 114.(2025·山东济宁·一模)∀x∈e,+∞
9
 ，若x2+2a2lnx≥ax2+lnx  恒成立，则实数a的取值范围是
．
15.(2025·山东淄博·一模)已知函数fx  =ln1+x  -x．
(1)求fx  的单调区间；
(2)证明：x≥0时，fx 
x
≤ -x；
1+x
1
(3)若不等式1+
n

n+a
≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数)，求整数a的最大值．16.(2025·江西萍乡·一模)设函数f(x)=(x-1)ex-e
10
 ，g(x)=x-lnx+a，若∀x ∈(0,+∞)，∃x ∈R， 2 1
使得fx 1  ≤gx 2  ，则实数a的取值范围是 .
17.(2025·江西萍乡·一模)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R)，则下列结论正确的是 ( )
e2
A. 若f(x)有2个零点，则a=
4
1
B. 当a= 时，f(x)是增函数
2
C. 当a=1时，f(x)≥0恒成立
1 1
D. 当a= 时，若x 是f(x)的零点，则-1<x <-
2 0 0 2
z z
18.(2025·山东烟台·一模)已知正数x,y满足x2+xy+4y2-z=0，则 的最小值为 ：当 取得
xy xy
2z
最小值时，不等式2ex+4axy-axln ≥0恒成立，则实数a的取值范围为 .
5
19.(2025·江西上饶·一模)已知函数fx 
ex+e-x x2
= -a1+
2 2
 a∈R  ．
(1)若曲线y=fx  在 1,f1   
e
处的切线的斜率为 ，求a的值；
2
(2)若x=0是fx  的极小值点，求a的取值范围．20.(2025·浙江·一模)已知函数fx
11
 =3x2-8sinx+φ  ，其中φ  ≤π.
(1)若函数fx  是偶函数，求φ；
(2)当φ=0时，讨论函数fx  在 0,+∞  上的零点个数；
(3)若∀x≥0，fx  ≥0，求φ的取值范围.题型三 证明不等式
21.(2025·山东淄博·一模)过点P-1,0
12
 向曲线C n :x2-2nx+2y2=0n∈N*  引斜率为k nk n >0  的切
线l n ，切点为P nx n ,y n  ，则下列结论正确的是 ( )
n 2025
A. k = B. lnx =-ln2026
n i
4n+2
i=1
y2 C. 数列   n x2
n
 x 1-x 的前n项和为S =n+n2 D. n +cos n n 2y 1+x
n n
 >1
22.(2025·四川巴中·一模)已知函数fx  =xlnx．
(1)求函数fx  的极值；
(2)求证：当0<x≤1时，2fx  ≥x2-1；
(3)若hx 
f(x)
=x2-2t1+
x
 ，其中0<t<1，讨论函数hx  的零点个数．23.(2025·安徽滁州·一模)已知函数fx
13

sinx
= 的极值点从小到大依次为x 1 ，x 2 ，x 3 ，⋯，fx
x
 是fx 
的导函数，则 ( )
A. f1 
π
>0 B. x ∈0, 1 4 
C. x 2 是fx  的极小值点 D. 2x >x +x 2 1 3
24.(2025·江西南昌·一模)已知fx  =xlnx-1  -axa∈R  ．
(1)若fx  在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若y=fx  有极大值m，求证：m<-4.e2x
25.(2025·北京延庆·一模)已知函数f(x)=- +(1-a)ex+ax.
2
(1)若a=1，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若a<-1，求f(x)的单调区间；
(3)若a<-1，且f(m)=f(n)=0(m<n)，证明：f(m)+f(n)>3.
1426.(2025·新疆乌鲁木齐·一模)已知fx
15
 =x2-2xlnx-1.
(1)求证：当x>1时，fx  >0；
n 1
(2)设a = -lnn.
n 1+k
k=1
(ⅰ)求证：数列a
n
 为递减数列；
(ⅱ)求证：a
n

1
≤ .
227.(2025·福建厦门·一模)设函数fx
16
 =x(ex-a)2．
(1)当a=0时，求fx  的单调区间；
(2)若fx  是增函数，求a的取值范围；
(3)当0<a<1时，设x 0 为fx 
1
的极小值点，证明：- 2e <fx 0  <0．28.(2025·安徽合肥·一模)已知函数fx
17

1
=lnx-ax-
x
 ，其中a>0.
(1)讨论fx  的单调性；
(2)若函数fx  有两个极值点x 1 ，x 2 (x 1 <x 2 )，证明：fx 1  +fx 2  +fx 1 +x 2 
3
>ln2- . 429.(2025·广东·一模)数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列a =
n
1
1+ n
18

n
n∈N* 
1
的性质，对通项公式取对数得，lna =ln1+ n n 
n
，则可通过研究函数y=ln1+x 
1
x
的性质，得到数列lna
n
 的性质，进而得到a
n
 的性质.请根据以上材料，解决如下问题：
(1)若不等式cx≥ln1+x 
1
对任意x≥0恒成立，求实数c的取值范围，并证明：e>1+
n

n
；
(2)是否存在常数a，使得：∀n∈N*有，1-a - n 1 < 2 <an 1 -1？若存在，求a的值；若不存在，请说明
n
理由.
(注：e为自然对数的底数)30.(2025·甘肃兰州·一模)已知公差不为零的等差数列a
n
19
 满足a =1，且a ,a ,a 成等比数列．
1 2 4 8
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)证明：lna ≤a -1；
n n
(3)若数列b
n

a a 1
满足b = n n+1 ，证明：1+
n 2 b
1

1
1+
b
2

1
1+
b
3

1
⋯1+
b
n
 <e2(e为自然对数的
底)．题型四 双变量问题
31.(2025·山东聊城·一模)已知函数fx
20

1
= x2-2ax+lnx.
2
(1)讨论fx  的单调性；
(2)若fx  有两个不同的极值点x 1 ，x 2 ，且fx 1  +fx 2 
a
≥2ln -6a+3，求实数a的取值范围. 232.(2025·陕西西安·一模)已知函数f(x)=xlnx，g(x)=(x-1)2sin4+a-1.
(1)记fx
21
 的导数为fx 
1
，求f 2 
2
+f 3 
3
+f 4 
n
+⋯+f n+1  的值，其中n∈N ； +
(2)若∀x 1 ，x 2 ∈(0,+∞)恒有fx 1  ≥gx 2  ，求a的取值范围.33.(2025·河南郑州·一模)已知函数fx
22
 =log x(a>0且a≠1)，y=fx
a
 关于y=x对称的函数记为y
=gx  .
(1)若a>1，方程fx  -gx  =0有且只有一个实数解，求a的值;
(2)讨论方程gx  -xa=0在0,+∞  上实数解的个数;
(3)若a=e，设函数Fx  =2 x-fx  ，若Fx 1  =Fx 2  x 1 ≠x 2  ，求Fx 1  +Fx 2  的取值范围.题型五 函数零点问题
34.(2025·湖南岳阳·一模)已知函数fx
23

ln1-x
=
   ,x<1
,gx
(x-2)2+a,x≥1

1
= 1-x
e


 ，若函数fx  与gx  的图
象有且仅有三个交点，则实数a的取值范围是 .
35.(2025·山东烟台·一模)已知函数fx  =x(x+c)2在x=1处有极大值.
(1)求实数c的值；
(2)若函数gx  =fx  +a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.36.(2025·四川内江·一模)已知函数fx
24
 =2xlnx+ax2-x，则下列说法正确的是 ( )
A. 当a>0时，fx  在0,+∞  上是增函数
B. 当a=2时，fx 
8
在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
5
C. 若fx  在0,+∞  上为减函数，则a≤-e
-3
2
D. 当a<0时，若函数Fx  =fx 
2 1
+ax有且只有一个零点，则a∈- ,-
5 3

37.(2025·北京延庆·一模)已知函数f(x)= lnx-1    -kx+2，给出下列四个结论：
①∃k<1，使得f(x)关于直线x=1对称；
②∃k>1，使得f(x)存在最小值；
③∀k>1，f(x)在(1,+∞)上单调递减；
④∃k>1，使得f(x)有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是 .
38.(2025·陕西西安·一模)设函数f(x)=x2-(m+n)lnx-(m+n-2)x，其中mn>0，若f(x)有两个零
1 P
点且m+n取最小整数P时， + 的最小值为 ( )
m n
3+2 3 4+2 3 5+ 3 6+2 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
39.(2025·云南曲靖·一模)已知函数fx  =e2x+1-2a  ex-axa∈R  ．
(1)当a=0时，求fx  在x=0处的切线方程；
(2)讨论fx  的单调性；
(3)若fx  有两个零点，求a的取值范围．40.(2025·安徽滁州·一模)已知函数fx
25

1
= x3+ax2-x-2alnx.
3
(1)若不等式fx 
1
≥ x3+x2-x恒成立，求实数a的取值范围;
3
(2)若a<0，求证：fx  有且只有1个零点.题型六 利用导数比较大小及构造解不等式
41.(2025·黑龙江·一模)已知实数x，y，z满足ex-e2=ex-2
26
 ≠0，ey-e3=ey-3  ≠0，ez-e5=
ez-5  ≠0，其中e为自然对数的底数.则x，y，z的大小关系是 ( )
A. x<y<z B. y<x<z C. z<x<y D. z<y<x
42.(2025·黑龙江·一模)已知函数fx  =lne2x+1  +kxk∈R  是偶函数，则 ( )
A. flog 0.3
5
 <fk  <flog 0.3
0.5
 B. fk  <flog 0.3
0.5
 <flog 0.3
5

C. flog 0.3
0.5
 <fk  <flog 0.3
5
 D. flog 0.3
5
 <flog 0.3
0.5
 <fk 
43.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知函数fx  =lne2x+1  -x，若x∈1,2  时，关于x的不等式f2x+1 
<fx+a  恒成立，则实数a的取值范围为 ( )
A. -7,-4  ∪2,3  B. -7,-3  ∪2,4 
C. -∞,-7  ∪3,+∞  D. -∞,-4  ∪2,+∞ 
44.(2025·湖南岳阳·一模)已知函数 fx  =ex+2x+3，其导函数为y= fx 
1
，当x∈  ,3
 2
 时，不等式
fx 
2
<a+
x
 lna+lnx  a>0  恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A. e,+∞ 
e3
B.  ,+∞
3
 C. 2 e,+∞  D. 1,+∞ 