文档内容
吉林省八校联考 2024-2025 学年高二上学期 1 月期末考试数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点.若
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在正方体 中，M，N分别为 的中点，异面直线MN与
所成角为（ ）
A. B. C. D.
4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎
《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一“.在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需的移动最少次数，若 .且
，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A. 13 B. 16 C. 31 D. 64
5. 已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，则以椭圆 的短轴
端点为顶点，且与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 平行直线 与 之间的距离为 ，则 ， 的
可能值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱 中， 为腰长为 等腰直角三角形，且
，侧面 为正方形， 为平面 内一动点，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点 在以 为左、右焦点的椭圆 内，延长 与椭
圆交于点 ，满
足 ，若 ，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 上一点 ， 、 分别为左、右焦点， ，
的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则满足题意 点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为
D. 若 为钝角三角形，则
10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱
长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 向量 与 的夹角是 D. 与AC所成角的余弦值为
11. 在数列 中， ，则以下结论正确的为（
）
A. 数列 为等差数列
B.
C. 当 取最大值时， 的值为51
D. 当数列 的前 项和取得最大值时， 的值为49或51
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆 和圆 的公切线条数为
__________.
13. 已知 ，直线 ，且 ，则
的最小值为__________.
14. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线
的方程为 ，第n根弦（ ，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线
和直线l： 交于点 和 ，则 ______.
（参考数据：取 .）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 的直角顶点为A在y轴上，直角边AB所在直线的方程为 ，点
，满足 ．
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求 外接圆的方程；
（3）求BC边所在直线的方程；
（4）若动圆P过点 ，且与 外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
16. 已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点，过焦点 作一条直线
交 于A、B两点，点 在 的准线 上，且直线MF的斜率为 的
面积为1.
（1）求抛物线 的方程；
（2）试问在 上是否存在定点 ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
17. 在三棱锥 ，底面 是边长为4的正三角形，平面 平面 ，
且 ．
（1）若 ，求证：平面 平面 ；
（2）若 底面 ，垂足为O， ，求平面 与平面 夹角的余
弦值．18 已知等差数列 满足 ，等比数列 满足
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求证： ，其中 .
19. 已知椭圆 ，左顶点分别为 ，上顶点为 ，左右焦点分别为
为椭圆上一点， 最大值为 的面积为 .
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线过 与椭圆 交与M，N两点（ 在 上方），且 ，
若 ，求直线斜率 值范围.
