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梅河口市第五中学 2024~2025 学年度上学期
高二第一次月考数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. 0 B. C. π D. 不存 在
2. 下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 √2，且过原点的圆的是 （ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，空间四面体 的每条棱都等于 1，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则
等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
4. 已知直线 ： ， ： 若 ，则实数 （ ）
A. 或 B. C. D. 与
5. 若点 在圆 的外部，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
的
6. 圆 与直线 交点个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与k的取值有关
7. 如图，平面 平面 ，四边形 为正方形，四边形 为菱形， ，则
直线 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设 为椭圆 上一动点， 分别为椭圆的左､右焦点，已知点 ，则 的最
小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二､多选题（本大题共3小题，每小題6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选
对的得6分，部分选对给部分分，有选错的或不答的得0分．）
9. 过点 作圆 的切线，所得切线方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， 为椭圆 上不同于左右顶点的任意一点，则下
列说法正确的是（ ）
A. 的周长为8 B. 存在点 ，使得
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，E为 的中点，若一点P在底面 内（包括
边界）移动，且满足 ，则（ ）
A. 与平面 的夹角的正弦值为 B. 点到 的距离为
C. 线段 的长度的最大值为 D. 与 的数量积的范围是
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则 ______．
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学科网（北京）股份有限公司13. 圆 与圆 相交所得公共弦长为__________．
14. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线
的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆 ，若直线
上存在点 ，过 可作 的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是
_________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知点 和直线 .
的
（1）若直线 经过点P，且 ，求直线 方程；
（2）若直线 经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程.
16. 已知圆 与 轴相切，圆心在射线 ，且被直线 截得的弦长为 .
（1）求圆 的方程；
（2）若点 在圆 上，求点 到直线 的距离的最小值.
17. 已知线段AB的端点B的坐标是 ，端点A在圆 上运动，M是线段AB的中点，
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点 的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点
C，求 面积的最大值，并求此时直线l的方程．
18. 如图所示，正方形 所在平面与梯形 所在平面垂直， ， ， ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 （不含端点）上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，若
存在求出 的值，若不存在请说明理由．
19. 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线
绕 与 的交点逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则称 为 到 的角，当直线
与 不垂直且斜率都存在时， （其中 分别为直线 和 的斜率）.结合阅读材料，回
答下述问题：
已知椭圆 的左､右焦点分别为 为椭圆上一点， ，四边
形 的面积为 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的角平分线所在的直线 的方程；
（3）过点 的且斜率存在的直线 分别与椭圆交于点 （均异于点 ），若点 到直线 的距离
相等，证明：直线 过定点.
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学科网（北京）股份有限公司梅河口市第五中学 2024~2025 学年度上学期
高二第一次月考数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二､多选题（本大题共3小题，每小題6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，全部选
对的得6分，部分选对给部分分，有选错的或不答的得0分．）
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学科网（北京）股份有限公司【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
【15题答案】
【答案】（1）
（2） 和
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
在
（2）不存 ，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）直线 过定点 ，证明见解析
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