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高二开学考数学
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位数的定义即可得解.
【详解】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则 ，
所以75%分位数为 .
故选：C.
2. 设事件A，B，已知P（A）＝ ，P（B）＝ ，P(A∪B)＝ ，则A，B之间 的关系一定为（ ）
.
A 两个任意事件 B. 互斥事件
C. 非互斥事件 D. 对立事件
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先求P（A）＋P（B），然后检验P（A）＋P（B）是否与P(A∪B)相等，从而可判断是否
满足互斥关系
【详解】因为P（A）＋P（B）＝ ＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
故选：B
【点睛】此题考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础题
3. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为 ，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设圆台的母线长为l，高为h，
因为圆台上底面圆的半径 为1，下底面圆半径 为2，母线 ，
因此圆台的高为 ，
所以圆台的体积为 .
故选：A
4. 已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的公式即可求解.
【详解】向量 在向量 方向上的投影向量 ，
故选：D．
5. 已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量计算可得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，即夹角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
6. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 的最大值
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理进行角化边整理得到 ，再通过余弦定理消元得到
，然后利用基本不等式得出 的最小值，从而可以得到 的最大值．
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以当 时， 取得最大值，
此时 ，
所以 的最大值是 ．
故选：D．
7. 已知函数 ，若对任意的实数 ， 在区间 上的值域
均为 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.
【详解】由 ，
函数值域为 ，
又对任意的实数 ， 在区间 上的值域均为 ，
则 ，
解得 ，
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司8. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是 ，若每位面试者共有三次
机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能
否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为 ，
所以李华最终通过面试的概率为 .
故选：D
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量 ， ，则（ ）
A. 当 时， B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 与 的夹角为钝角，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断 B；根据向量垂直
坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.
【详解】对A，当 时， ，所以 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对B，若 ，则 ，解得 ，故B错误；
对C，若 ，则 ，解得 ，故C正确；
对D，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，
解得 且 ，即 ，故D正确，
故选：ACD
10. 在直三棱柱 中， ，且 ， 为线段 上的动点，则
下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 异面直线 与 所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当 是 的中点时，过 三点的平面截三棱柱 外接球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】构造正方体模型，即可判断A、B，展开为平面图形，两点间直线最短，即可求出最小值，从而
的
判断C，构造正方体模型，求出外接球半径，然后计算得到球心到截面 距离，然后结合勾股定理即可求
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学科网（北京）股份有限公司解D选项.
【详解】
对于A，如图，将几何体补为正方体，易知， ，又 ，所以
，故A正确；
对于B，如图，将几何体补为正方体，当动点M运动到点B时，此时直线 与 所成角最小，为 ，
但此时直线 与 相交，不满异面；
当动点M由点B向点C运动时，直线 与 所成角慢慢变大，当动点M运动到点C时，此时直线
与 所成角最大，易知 是等边三角形，所以直线 与 所成的角为 ，而
，即此时直线 与 所成角为 ；所以，异面直线 与 所成角的取值范围为
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学科网（北京）股份有限公司，故B错误；
对于C，如图，将平面 与平面 展为同一平面，则
，故C错误
对于D，如图，补为正方体，三棱柱 外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径
，即 ，
，所以
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司取正方体的中心点O， 的中点N，连接ON，易知 ，
所以 ，设正方体的中心点O到截面 的距离为h，
即球心到截面的距离为 ，根据勾股定理可得截面圆半径为 ，
所以截面面积为 ，故D正确.
故选：AD
11. 设 为随机事件，且 ，下列说法正确的是（ ）
A. 事件 相互独立与 互斥不可能同时成立
B. 若三个事件 两两独立，则
C. 若事件 独立，则
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用相互独立性的性质，相互独立事件是可以同时发生的，而互斥事件是不可能同时发生的；三
个事件两两独立，不能确定三个事件相互独立，即不能判断 是否成立；利用
概率公式 求解.
【详解】若 相互独立，则 ；若 互斥，则 ，
而 ， ，所以事件 相互独立与 互斥不可能同时成立，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司当三个事件 两两独立时， 一般不成立．
比如：设样本空间 含有等可能的样本点，且 ，
则 ， ，
所以 ，
即三个事件 两两独立，但是 ，故B错误；
若 相互独立，则 也独立，故C正确；
由 得 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题
12. 已知平面向量 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 =______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可求解
【详解】由投影向量的定理可得，向量 在向量 上的投影向量为： ，
又向量 在向量 上的投影向量为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
13. 已知事件 与 相互独立， ， ，则 ______．
【答案】0.88
【解析】
【分析】根据独立事件乘法公式求出 ，从而利用 求出答案.
【详解】因为事件 与 相互独立，
所以 ，
所以 ．
故答案为：0.88
的
14. 已知四面体 中，棱BC，AD所在直线所成 角为 ，且 ， ，
，则四面体 体积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，找到 ，求出 ，由正弦定理得到点 在半径为 的
的外接圆的劣弧 上，当平面 ⊥平面 时，点 到平面 的距离最大，且最大距离
为 ，从而求出三棱锥 的体积最大值为 ，由 得到答案.
【详解】在平面 内，分别过 作 的平行线交于点 ，连接 ，
则四边形 为平行四边形，则 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，由正弦定理得 ，
其中 为 的外接圆半径，解得
则点 在半径为 的 的外接圆的劣弧 上，
作 ⊥ ，垂足为 ，如图1，
则当 为 的中点，即 时， 最大，此时 ，
如图2所示，此时 ，
当平面 ⊥平面 时，点 到平面 的距离最大，且最大距离为 ，
连接 ，此时三棱锥 的体积最大，最大为 ，
而 ，故四面体 的最大值为
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】关键点点睛，将四面体 补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结
合点到平面的距离最大值求出体积最大值
四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共
77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为 号和 号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率：
（1） “两个点数之和是5”；
（2） “两个点数相等”；
（3） “ 号骰子的点数大于 号骰子的点数”．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
的
【分析】（1）判断出符合古典概型，列出样本空间，找到满足事件 样本点，求比值即可；
（2）列出满足事件 的样本点，求比值即可；
（3）列出满足事件 的样本点，求比值即可．
【小问1详解】
用 表示 号出现的点数为 ，用 表示 号出现的点数为 ，
则用 表示这个实验的一个样本点，
样本空间 ，共有36个样本点．
由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
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学科网（北京）股份有限公司，
，
；
【小问2详解】
，
，
；
【小问3详解】
．
16. 已知平面向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 ， ，求向量 和向量 的夹角的大小．
【答案】（1） ， ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由 列方程可求出 ，再由 列方程可求出 ，从而可求出 和 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先求出向量 和向量 的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ， ；
【小问2详解】
， ，
设向量 和向量 的夹角为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即向量 和向量 的夹角的大小为 ．
17. 在 中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依据给定条件，并结合正弦定理，余弦定理求解即可.
（2）利用重要不等式求出 ，再结合三角形面积公式求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
在 中，若 ，
由正弦定理得 ，故 ，
即 ，由余弦定理得 ，故
【小问2详解】
当 时， ，由重要不等式得 ，
当且仅当 时取等，故有 ，解得 ，
而 ，故 ，
故 面积的最大值是 .
18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要
实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为
此次任各提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120
分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组： ，
第二组： ，第三组： ，第四组， ，第五组： ，得到的频率分布直方图如
下图，已知第一组有10个人．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使
的年龄的平均数与方差分别为36和 ，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计
这t人中35～45岁所有人的年龄的平均数和方差．（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样
本方差分别为：m， ， ，n， ， ．记总体的样本平均数为 ，样本方差为 ，则
，
【答案】（1）
（2）年龄的平均数为 ，方差约为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可确定第 百分位数第四组，根据第 百分位数定义可构造方程求得
结果；
（2）由 可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由
可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差.
【小问1详解】
设第 百分位数为 ，
， ，
位于第四组： 内；
由 得： ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意得，第四组应抽取 人；第五组抽取 人， 设第四组的宣传使者的
年龄分别为 ，平均数分别为 ，方差分别为 ，
设第五组的宣传使者的年龄分别为 ， ，平均数分别为 ，方差分别为 ，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 ．
则 ，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，
则
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为 ；
据此估计这 人中年龄在 岁的所有人的年龄的平均数为 ，方差约为 ．
19. 如图是函数 图象的一部分．
（1）求函数 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求函数 的单调区间；
（3）记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可得 ，由周期求出 ，再根据函数过点 求出 ，即可得到函数
解析式；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得 ，由 的取值范围求出 的取值范围，令 ，
，即 ，结合正弦函数的图象及对称性计算可得.
【小问1详解】
由图可得 ，
函数 的最小正周期为 ，又 ，
则 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又函数过点 ，所以 ，则 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
【小问2详解】
令 ， ，解得 ， ，
令 ， ，解得 ， ．
因此函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， ．
【小问3详解】
方程 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
设 ，其中 ，即 ，
结合正弦函数 的图象，可得方程 在区间 有 个解，即 ，
又 的对称轴为 ，
不妨设 个解从小到大依次为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 关于 对称， 关于 对称， 关于 对称，
所以 ， ， ，
即 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以 ，
所以 ， ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程 在区间 上的解的个数，结合
正弦函数的图象及对称性计算得解.
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学科网（北京）股份有限公司
