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2024~2025 学年度第一学期期中重点校联考
高二数学
出题校：芦台一中 宝坻一中
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1.已知直线 的倾斜角为 ，且经过点 ，则直线 的方程为（ ）.
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系 中，点 关于 轴对称点的坐标为（ ）.
A. B. C. D.
3.方程 表示椭圆的充要条件是（ ）.
A. B. 或
C. D.
4.若直线 与 平行，则 的值为（ ）.
A.0 B.2 C.3 D.2或3
5.已知两点 ， ，过点 的直线 与线段 （含端点）有交点，则直线 的斜率的
取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
6.已知圆 ，若直线 与圆 相交于A，B两点，则 的最小值
为（ ）.
A. B. C. D.37.如图所示直四棱柱 中，底面 为菱形， ， ， ，动点
在体对角线 上，则顶点 到平面 距离的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
8.已知直线 与直线 交于点 ，若点 ，则 的最小
值为（ ）
A. B.2 C. D.
9.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆 于A，B两点，
若 ，点 满足 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10.已知 ， ， .则 _____.
11.直线 过点（－1，2），且在两坐标轴上截距相等，则直线 的方程为_____.
12.若直线 与圆 相交于A，B两点，且 （ 为坐标原
点），则 _____.
13.点 在椭圆 上， 是椭圆的一个焦点， 为 的中点， ，则 _____.14.已知圆 和两点 ， ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为_____.
15.已知 是椭圆 上一点， ， 是 的两个焦点， ，点 在
的平分线上， 为原点， ，且 .则 的离心率为_____.
三、解答题（本题共75分）
16.（14分）直线 过点 且与直线 垂直.
（1）求直线 的方程；
（2）求圆心在直线 上且过点 、 的圆的方程.
17.（15分）如图，在四棱锥 中， ， ， 平面 ，底面 为正
方形，M，N分别为 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
18.已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 有两个不同的交点A，B，原点 到直线 的距离为2，求 的面
积的最大值.19.（15分）如图，四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
20.（16分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上运动，且 面积
的最大值为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 交 于 ， 两点.
（i）点 关于原点的对称点为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值；
（ii）若 上存在点 使得 ， 在 上的投影向量相等，且 的重心在 轴上，求直线
的方程.2024－2025 年度上学期高一年级期中考试
数学参考答案
1.C因为 ， ，所以 .
2.C因为 是幂函数，所以 ，得 ，则 ， .
3.A由 ，得 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
4.B设 ，则由 ，得 ，即
，则 得 则 ， .
5.D设每束鲜花的售价降低 元，则花店该品种鲜花的日销售额
，故当 ，即每束鲜花的售价为34元时，花店该品种鲜花的日
销售额最大.
6.C由题可知 的定义域为 ，且 ，所以 是奇函数，
排除A，B.当 时， ，排除D.故选C.
7.B因为 的定义域为 ，所以在 中， ，则 ，则在
中， ，则 .又 ，所以 的定义域为 .
2a5
b
a1
8.A由 ，得 ，则
，当且仅当 时，等号成立.
9.ABC空集是任何集合的子集，A正确.“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰
三角形”，B正确.若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故“ ”是“ ”的一个充分条件，C正确.取 ，则 ， ，
D不正确.
10.ACD因为关于 的不等式 的解集为（1，2），所以 整理得
则 .由 ，解得
.由 ，解得 ，则 .故选ACD.
11.AC由 ，得 ，则
，整理得 .令函数 ，则
由 ，得 ，从而 在 上单调递增，则 ，即
，即 ，A正确，B不正确.因为 ，
所以 ，则 ，即 ，C正确. 与 的大小
关系不确定，D不正确.
12.－2若 则 或 当 时， ，此时 ；当
时， ，不符合集合元素的互异性.若 则 不符合集合元素的互异性.
13.（－5，4）因为 ，所以 ，则 .
14. 当 时， ， .当 时， .故对于任意 ，都有 .
设 ，则 ，则
，从而 .
15.解：（1）若 ，即 ，则 ，符合题意.
若 ，即 ，则由 中恰有一个元素，得 ，
解得 或 .
综上所述， 的值构成的集合为 .
（2）由 ，得 或 ，则 .
若 ，符合 ，
则 解得 或 .
若 ，则 ，解得 ，则 ，符合 .
若 ，则 ，解得 ，则 ，不符合 .
综上所述， 的取值范围为 .
16.（1）证明： .
因为 ，所以 ，
则 ，从而 .（2）解：因为 ，所以
.
因为 ，所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故 的最小值为 .
17.解：（1）因为 与 分别是定义在 上的奇函数、偶函数，所以 ，
.
由 ①，得
，
则 ②.
①－②得 ，则
从而 .
（2）因为 与 均是增函数，所以 也是增函数.又 ，所以 在
上的值域为 .
若 ，则 在 上单调递增.因为 与 在 上的值域相同，所以
解得
若 ，则 为常数函数，显然不符合题意.
若 ，则 在 上单调递减.因为 与 在 上的值域相同，所以解得
综上所述， 或
18.解：（1）因为 ，
所以 是偶函数.
当 时， ，则由 ，得 在 上单调递增.
因为 是偶函数，所以由 ，得 ，
解得 ，故不等式的解集为 .
（2）
若 ，则 ，则 在（－1，0）和 上单调递增，在
上单调递减，
由 在 上的最小值大于－3，得
解得 ；
若 ，则 ， ，则 在 上单调递增，
由 在 上的最小值大于－3，得 ，则 .
综上所述， 的取值范围为 .
19.（1）证明：因为 在 上的平均变化率为3，所以
.由 ，得 ，
从而 ，则 .
（2）①证明：因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
则 ，从而 .
，
因为 ，所以 ，则 ，即 .
又 ，所以 ，即 .
②解：任取 ，则 ，即
，所以 在（0，1）上单调递减，由 ，得 .
因为 ，所以 ，解得 ，
则 ，
则 ，
故 的取值范围为 .
