文档内容
s
丽江市2025届高中毕业生复习统一检测
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C D A B C
【解析】
1. 由 ，
得 ，
所以 .故选B.
2. ，故 ，解得 ，故 ，
又 ，故 .故选A
3. 由 两边平方得 ， ，
由于 ，所以 ，
所以 .故选D
4. 若方程 表示椭圆，则 ，解得 且 ，
所以“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件．故选C.
数学参考答案·第1页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
5. 易知 ，
所以 ，
令 ，则 ，显然 ，
所以 为奇函数.故选D
6．
.故选A.
7. 不妨设五个点数为 ，由题意平均数为2，方差为0.4，
知 .
可知五次的点数中最大点数不可能为4，5，6.
五个点也不可能都是2，则五个点数情况可能是3，3，2，1，1，其方差为
，不合题意.
若五个点数情况为3，2，2，2，1，其方差为
，符合题意，其众数为2.故选B.
8. 由题意知，水的体积为 ，如图所示，
设正方体水槽绕 倾斜后，水面分别与棱 交于 ，
数学参考答案·第2页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
由题意知 ，水的体积为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
在平面 内，过点 作 交于 ，
则四边形 是平行四边形，且 ，
又侧面 与桌面所成的角即侧面 与水面 所成的角，
即侧面 与平面 所成的角,其平面角为 ，
在直角三角形 中， .故选C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABD AC BCD
【解析】
9. 对于A.从小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由 ，所以
下四分位数是17正确；
对于B， 正确；
对于C，由二项分布可得： ，错误；
对于D，由正态分布的对称性可得： ，正确.故选ABD.
10．因为 ，
所以 的最小正周期为 ，故A正确；
又由 ，故B错误；
数学参考答案·第3页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
当 时，可得 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
因为 ， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围为 ，故C正确；
由题意得函数 ，因为 ，
所以 ，又因为函数 有且仅有5个零点，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，故D错误.故选AC.
11．A选项：由椭圆方程 ，所以 ， ，所以 ，
所以 的面积为 ，故A错误；
B选项：当 或 时 为直角三角形，这样的点 有4个，
设椭圆的上下顶点分别为 ， ，则 ,同理
，
知 ，所以当 位于椭圆的上、下顶点时 也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点 有6个，故B正确；
C选项：由于 ，
所以当 最小即 时， 取得最大值 ，故C正
数学参考答案·第4页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
确；
D选项：因为 ，
又 ，则 的最大、最小值分别为 和
，
当点 位于直线 与椭圆的交点时取等号，故D正确，故选BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 或
【解析】
12．在 中由正弦定理可知 ，所以 ，
解得 ，因为 为 的内角，
所以 或 ，
所以 或 ，故答案为 或 ．
13．因为 ，
数学参考答案·第5页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
所以 的展开式中含 的项为 ，
故 的展开式中 的系数为 .故答案为 .
14．原不等式等价于 ，
也就是 ，
因为 均为 上的增函数，故 为 上的增函数，
故原不等式即为 ，故 对任意 恒成立，
故 对任意 恒成立，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
故 在(0,+∞)上为减函数，而 ，
故当x∈(0,1)时， 即 ，故 在(0,1)上为增函数；
当x∈(1,+∞)时， 即 ，故 在(1,+∞)上为减函数，
故 ，故 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）由函数 ，可得 .....（1分）
可得 ..................................（2分）
数学参考答案·第6页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
且 ..................................（3分）
所以切线的斜率为 ，切点为 ， ..................................（4分）
则所求切线方程为 . ..............................（5分）
（2）由（1），当 时，可得 ...............................（6
分）
当 时， ，函数 在 上单调递减， .......................（7分）
当 时， ，函数 在 上单调递增， .......................（8分）
而 ， ..................................（9分）
， ..................................（10分）
， ..................................（11分）
故所求最大值为 ， ..................................（12分）
最小值为 . ..................................（13分）
16. （本小题满分15分）
， .................................（2分）
可得 ， .................................（3分）
又由 ，所以 ， .................................（5分）
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列. ........................（6分）
数学参考答案·第7页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
（2）由（1）可得 ，所以 ........（8分）
...............................................（11分）
，因为函数 为单调递增函数，....（12
分）
............................（15分）
17. （本小题满分15分）
解：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ..................................（1
分）
∵四边形ABCD为菱形， ， ..................................（2
分）
且O为AC中点， ， ， ..................................（3分）
又 ， 平面BDEF，
∴ 平面BDEF， ..................................（5分）
又 平面 ，所以平面 平面 . ............................（6
分）
（2）
数学参考答案·第8页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且 ，
为等边三角形，
∵O为BD中点，∴ ，又 ， ， 平面
ABCD，
平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， .................................（7
分）
∴建立空间直角坐标系 ，如图所示， ..................................（8
分）
设 ，∵四边形ABCD为菱形， ， ．
为等边三角形，∴ ．
，
∴ ， ， ............................（10
分）
设平面ABF的法向量为⃗n=(x,y,z)，则
令 ，解得 ， ...........................（12
分）
设AD与平面ABF所成角为 ，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：
． .......................（15分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题意可知，X= 4 , 6 , 8. ..................................（1分）
当两场比赛后结束，也即第一局的其中1人连续获得两场胜利，有两种情况，此
时 ， ， ........................（2
数学参考答案·第9页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
分）
当三场比赛后结束，即第一局比赛的2人均未获胜，轮空者获胜，共有两种情况，
此时 ， ； ................................（3分）
当四场比赛后结束，前三局比赛，甲乙丙三人各赢1场，进行第四场比赛，共有
2种情况，
此时 ， ； ................................（4分）
所以三人总积分 的分布列为:
4 6 8
0.5 0.25 0.25
所以 . .................（6分）
（2）设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：
已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙
与丙比赛时，乙获胜的概率为 .
其中 包含三种情况:
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ； .......................（8分）
同理可得
；............（10
分）
； ...............（11
分）
显然 ，
数学参考答案·第10页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
故 ， ..............（13
分）
， ........................（15
分）
由于 ，
故 ，
所以 ；
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局. .............................（17分）
19.（本小题共17分）
解：（1）由题意可得， ，解得 ， ..................................（2分）
所以双曲线 的方程为 . ..........................（3分）
（2）当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
代入 可得 ，......（5
分）
当 时，即 时，直线 与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，
数学参考答案·第11页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
即直线 的方程 为 ， ......（6分）
当 时， ，
即 ，可得 ，此时直线 与双曲线相切，
直线 的方程为 ； ...................................（8分）
显然，当直线 斜率不存在时，直线 与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线 仅有1个公共点的直线有3条：
， ， . ...............（9分）
（3）当直线 的斜率不存在时，则 与 重合，又 ，即 ，
所以 ， ，此时直线 的方程为 ，
则 到 的距离为 ； .................................（10分）
当直线 的斜率为0时，则 与 重合， ， ，
此时直线 的方程为 ，则 到 的距离为 ； ................（11分）
当直线 的斜率存在且不为0时，设 的方程为 ，
设 ，
直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
数学参考答案·第12页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
，
由韦达定理可得 ，则 ， ..........................（12
分）
所以 ，
所以 ， ..........................（13
分）
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ，则 , .......................（14
分）
所以 ，所以 ，
则
数学参考答案·第13页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
， ，
所以直线 的方程为 ， ......................（15分）
即 ，
所以 ，即 ，
故直线 过定点 ， ..................（16分）
当 时，直线 与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当 时，直线 与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当 时， 的横坐标均为 ，此时，直线 的方程为 ，
过点 ；
综上所述，直线 过定点 .
所以点 到直线 的距离的最大值为 , .......（17
分）
数学参考答案·第14页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司s
数学参考答案·第15页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司
