文档内容
天津市部分区 2024～2025 学年度第二学期期中练习
高二数学
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. （ ）
A.9 B.10C.11D.12
2.函数 的导数是（ ）
A. B. C. D.
3.一个做直线运动的质点的位移 与时间 的关系式为 ，若该质点的瞬时速度为
时，则 （ ）
A.10B.5 C.1 D.0
4.在高二某班级中，有4名同学要参加足球、篮球、乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，
其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有（ ）
A.12B.16C.54D.81
5.已知函数 的导函数的图象如图所示，则下列关于 的说法正确的是（ ）
A.在区间 上是减函数 B.2是极小值点
C.在 上一定没有最大值 D. 最多有四个根
6.有4辆车停放于6个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有多少种不同的停放方法？
（ ）
A.360 B.240 C.120 D.607.函数 的极值点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A.120 B.15C. D.
9.设函数 （ ），有下列命题：
①当 时， 有三个零点；
②当 时， 是 的极小值点；
③存在实数 ， ，使得 在区间 上存在最大值1.
其中是真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
10.函数 的导数为______.
11.在 的展开式中，常数项为______.（请用数字作答）
12.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生分别前往冰球、速滑以及体育中心
三个场馆担任志愿者，每位大学生仅负责一个场馆，且每个场馆至少有一名志愿者，则所有不同的安排方
式共有______种.（请用数字回答）
13.在不超过20的质数中，随机挑选三个不同的数，则它们的乘积为偶数的组合方式共有______种.（请用
数字作答）
14.已知函数 （ ）， ，若对任意 ，存在 ，使
成立，则 的取值范围是______.
15.已知函数 ，当 时， 的最小值为 ，则实数 的值为______.
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）
已知函数 （ ， ， ），当 时， 取得极大值 ，当 时，
取得极小值.
（Ⅰ）求 ， 的值：
（Ⅱ）求 的极小值.
17.（本小题满分12分）
袋子中有10个大小相同的小球，其中4个红球，6个白球.取一个红球得2分，取一个白球得1分，现在从
袋子中随机取出5个球，要求必须同时取出红球和白球.
（Ⅰ）请问有多少种取法能够使得总分数不超过7分？（请用数字作答）
（Ⅱ）当总分数恰好为7分时，先取出球，然后将这些球随机排列成一行，求红球互不相邻的不同排列方
式有多少种？（请用数字作答）
18.（本小题满分12分）
已知 的展开式的二项式系数和为128.
（Ⅰ）求 的值：
（Ⅱ）若展开式的第4项的系数为 ，求实数 的值.
19.（本小题满分12分）
设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点
为曲线 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐
点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为
（Ⅰ）求实数 ， 的值；
（Ⅱ）求 的零点个数.
20.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（Ⅱ）若 的最大值是 ，求 的值；
（Ⅲ）设函数 ，若 有两个极值点 ， ，证明：
.高二数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9
号
答 B D B C D C A C C
案
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 11. 80 12. 36 13. 21 14. 15.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ ，∴ .
∵当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值
∴ 和 是方程 的两根，
有 ∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∵当 时 取得极大值 ，
∴ ，∴
此时函数 的极小值为 .
17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设取出 个红球 个白球，依题意可得 ，
因为 ， ，所以 或 ，
∴符合题意的取法种数有 种.（有此表达式即可）
（Ⅱ）总分为7分，则取的个数为红球2个，白球3个，
将取出的球排成一排分两步完成，
第一步先取球，共有 种，
第二步再排，先把3个白球全排列，再将2个红球插空，
共有 ，
根据分步乘法计数原理可得不同排法有 种.
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为 展开式的二项式系数和为 ，
所以 ；
（Ⅱ）因为 的展开式的第4项为 ，
所以 ，解得 .
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 的图象的对称中心为 ，
所以 ，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴ ，
令 ，得 或 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因为 ， ，
又当 时， ；当 时， ，
所以 有3个零点.
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当 时，则 ， .
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（Ⅱ） 的定义域为 ，而 .
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 .故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ， ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上所述， .
（Ⅲ）由题意得，函数 的定义域为 ，且 ，
，令 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，则 ， 是方程 的两个根，
得 ，即 ，且 ， ，
，
令 ， ，则 ，
当 时， ，则 在区间 上单调递减，
从而 ，故 .
