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2024届高二（下）数学试卷答案 系，结合排除法确定函数图象.
ln|−x| lnx
一．单项选择题（杨阳） 【详解】由f(−x)= = =f(x)且定义域为{x|x≠0}，故f (x)是偶函数，又
(−x) 2 x2
1．【答案】C
【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.
f (1)=0，排除D、C；
【详解】命题p:∃x∈Z,x2≥3x+1，则p的否定为：∀x∈Z,x2<3x+1. 当x>1时，函数y=x2比y=lnx增长得更快，排除A.
故选：C 故选：B．
【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是 7．【答案】B
全称量词命题． 【分析】由已知函数表达式变形后分别设出A，B两点坐标，再利用反函数的性质结合两
2．【答案】C 直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【分析】根据分式不等式解集合B，结合交集的概念与运算即可求解. 2024 2024
【详解】由f(x)=xlnx−2024=0得lnx= ，由g(x)=xex−2024=0得ex= ，
x+2 x x
【详解】由 ≤0，得(x+2)(x−1)≤0且x−1≠0，
x−1 ( 2024) ( 2024)
设点A的坐标为 x , ，点B的坐标为 x , ，
解得−2≤x<1，即B={x|−2≤x<1}， 1 x 2 x
1 2
所以A∩B={−2,−1,0}，有3个元素.
2024
又y=lnx与y=ex的图象关于直线y=x对称，且y= 的图象也关于直线y=x对称，
故选：C x
3．【答案】D 2024 2024
−
【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 则点A，B关于直线y=x对称，即 x x 2024 ，得x ⋅x =2024，
k = 2 1 =− =−1 1 2
【详解】由alog 9=1可得9a=16，即(3a
)
2=16，3a=4，故3−a= 1
.
AB x
2
−x
1
x
1
x
2
16 4
故选：B．
故选：D
8．【答案】B
4.【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自
【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.
变量的不等式，解得即可.
ln9 2ln3
【详解】由题意可知，40=30+(120−30)e−0.05t，解得t= = =40ln3≈44即至 【详解】函数f(x)=log |x|−x−2 的定义域为{x|x≠0}，
0.05 0.05 2
且f (−x)=log |−x|−(−x) −2=log |x|−x−2=f (x)，所以f(x)=log |x|−x−2 为偶函
少大约需要的时间为44分钟. 2 2 2
数，
故选：C
5【答案】C
当x>0时f (x)=log
2
x−x−2 ，因为y=log
2
x与y=−x−2在(0,+∞)上单调递增，
4 1 所以f (x)=log x−x−2 在(0,+∞)上单调递增，
【分析】根据二次函数的值域求出a和c的关系，再利用基本不等式即可求 + 的最小值. 2
a c
则f (x)在(−∞,0)上单调递减，不等式f(x−2)≥f(2x+2)，
【详解】由题意知a>0，Δ=1−4ac=0，
即f (|x−2|)≥f (|2x+2|)，等价于¿，解得−4≤x<−1或−10， 所以不等式的解集为[−4,−1)∪(−1,0].
4
故选：B
4 1 √ 4
∴ + ≥2 =8， 二．多项选择题（赵）
a c ac
9.【答案】BD
4 1 1
当且仅当 = ，即a=1，c= 时取等号. 【详解】若 ，则 ，则 ，所以 ，所以A选项不正确.
a c 4
故选：C 对于C选项，若 ，则 ，
6．【答案】B
但 ，所以C选项错误.
【分析】根据奇偶性定义判断f (x)的对称性，并由f (1)=0及y=x2、y=lnx增长速度关
1
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，故 ，
当 时， ，则 ，所以B选项正确.
所以 且 ，
由于 ，所以函数 的值域为 ，D选项正确.
所以 ，解得 .
10.【答案】AD
13．【答案】（-∞，0]
【详解】因为 ，
【详解】解：若任意x ∈[0,3]，都存在x ∈[1,4]，使得f（x）≥g（x），
1 2 1 2
所以 ，又 为增函数，故 ， 则f（x）min≥[g（x）]min，x ∈[0,3]，x ∈[1,4]，
1 2 1 2
对于函数f(x)=x2+1，x∈[0,3]，
对于A，因为 为减函数，所以 ，故A正确；
函数f（x）在[0,3]上单调递增，
∴f（x）min＝f（0）＝1．
对于B，当 时， ，故B错误；
对于函数g（x）＝2x−a，在x∈[1,4]单调递增，
构造增函数， ，故C错误.
∴g（x）min＝2−a．
对于D， ，故D正确 ∴1≥2−a，解得a≥1．
11．【答案】ACD ∴实数a的取值范围是[1,+ ∞）．
【点睛】本题考查函数的最值问题，考查常见函数的图象与性质，考查转化思想，属于中
【详解】对于A：令 是偶函数，则 ，即 ，
档题.
所以 关于 对称，故A正确； 14．
15．【答案】(1) ； (2) .
对于B： ， ，
（【详解】（1）因为命题 是假命题，则命题 是真命题，即关于 的方程
所以 ，故B错误；
有实数根，
对于C：因为 ，所以 ， 因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
即 ，即周期 ，故C正确；
（2）由（1）知，命题 是真命题，即 ，
对于D：因为 ， ，且 关于直线 对称，
因为命题 是命题 的必要不充分条件，则 ，
根据对称性可以作出 上的图象，
因此 ，解得 ，
又 ，可知 关于点 对称，又可作出 上的图象， 所以实数 的取值范围是 .
16．【详解】（1）因为 的图象关于直线 对称，
又 的周期 ，作出 的图象与 的图象，
如图所示：所以 与 有4个交点，故D正确， 所以函数 的图象关于直线 对称，所以 ．
（2）因为函数 的值域为 ，
所以 的值域包含 ，
所以有 ，所以 或 ，
所以
三、填空题 ，
12．
故 ，所以函数 的值域为 ．
【分析】由题意可得 ，再列出不等式组，解之即可得解.
2
学科网（北京）股份有限公司17．【详解】（1）因为， ,定义域关于原点对称，
令 ，所以 ，故 ， 由题意有： ，解得：
则 ， ，
所以 .
所以 为定义在 上的奇函数。.
（2）设耗电量为 ， ，
是 上的增函数.
所以函数 在区间 单调递增， 所以
证明：任取 ，且 ，
，
，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达乙地.
又设行驶时间与充电时间分别为 ，总和为 ，若能到达乙地，
所以 ，所以 ， ， ，
则初始电量+充电电量-消耗电量 保障电量，
所以 ， ，
即 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 是 上的增函数.
所以总时间
（2）当 时，不等式 即 ，
，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等，所以该汽车到达乙地的最少用时约为7.4小
则令 ，由题意可知 ， ， 时.
19．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
因为函数 ， 为 上的增函数，
(2)
故 在 上单调递增，
(3)
故 ，
【详解】（1）
所以 .
18．【答案】(1)选择函数模型②，
（2）由题可知函数： ，所以函数 为奇函数，且： 在
(2)需要，最少用时约为7.4小时.
上单调递增，所以只需使： 恒成立，即： 恒成
【详解】（1） 与 的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型
②，
立：所以： 且 ，显然不存在实数 ，所以
3
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函数： ，所以函数 为偶函数，且 上单调递增，
所以：当① ：时函数 有唯一零点： ；
②当 时：时函数 三个零点： ； ，
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