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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A A D A B B AD BCD CD
1．C
【分析】根据集合的包含关系，讨论 或 或 ，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择.
【详解】因为 ，故 ．
①当 时， ，则 ，与元素的互异性矛盾，故 不成立；
②当 时，解得 ，与元素的互异性矛盾，故 不成立；
③当 时，即 ，则 ， ，故 成立，故 .
故选：C．
2．C
【分析】根据条件得到 ，再利用复数的运算，得到 ，即可求解.
【详解】因为复数 在复平面内的对应点为 ，所以 ，
则 ，所以 的虚部为 ，
故选：C.
3．A
【分析】将 变形为 ，利用均值不等式进行求解.
【详解】 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最大值是 .
故选：A.
4．A
【分析】由独立事件概率乘法公式可得.
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件 ，
由题知 ，
则3人中至少有2人投中的概率为：
.
故选：A.
5．D
【分析】在 中，由余弦定理求出 长，由勾股定理可得 直角三形，由 求出 长，再利
用数量积定义即可求.
【详解】在 中，已知 ，
由余弦定理可得
，则 .
由 ，可得 .
故在 中， 为线段 中点，则 ，
又 ，则 ，
且 .
故 .
故选：D.
6．A
【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式表达出 的面积，并利用基本不等式求出面积
的最大值为 ，此时圆心 到直线 的距离为 ，从而得到方程，求出 的值.
答案第2页，共2页【详解】 的圆心为 ，半径为1，
圆心 到直线 的距离 ，
故 ，
则 的面积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，解得 .
故选：A
7．B
【分析】利用 计算即可.
【详解】令 ，
则 ，
显然 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （ 时取得等号），
（ 时取得等号），
故 ，即 .
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司故选：B
8．B
【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得.
【详解】当 时， ，
因为数列 为"速增数列"，
所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
故正整数 的最大值为63，
故选：B.
9．AD
【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出 ，判断A；利用特殊值可求出 ，进而求出 的图象与
轴的交点坐标，判断BC；判断 的图象关于点 对称，即可判断D.
【详解】由图可知， 的最小正周期 ，则 ，A正确；
由图象可知 时，函数无意义，故 ，
由 ，得 ，即 ，则 ，
即 的图象与 轴的交点坐标为 ，B，C错误；
由于 ，则 的图象关于点 对称，
可得函数 的图象关于直线 对称.
故选：AD
答案第4页，共2页10．BCD
【分析】A选项，由题可得 ，据此得 的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，可得
表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合 ， 大小关系可判断选项正误；
D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.
【详解】A选项，由题 ，则 ，
因在 处取得极大值，则 或 .
当 时， ，令 ； .
则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 处取得极小值，不合题意；
当 时， ，令 ； .
则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 处取得极大值，满足题意；
则 ，故A错误；
B选项，由A可知， ，则 .
故B正确；
C选项，当 ，则，则 ，由A分析， 在 上单调递增，
则 ，故C正确；
D选项，令 ，由A可知， .
则
，
又 ，则 ，故D正确.
故选：BCD
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司11．CD
【分析】根据正方体的侧面展开图，可判断A；连接 ，得到过点 的平面截该正方体所得的截面为
等腰梯形 ，可判断B；取 的中点 ，连接 ，证得 平面 ，得到 ，得到点
的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆在正方形 内的部分，可判断定C；以 为原点，建立空间直角坐标
系，设 ，根据 ，求得点 的轨迹方程，可判断D.
【详解】对于A，如图所示，将正方形 沿着 展在平面 ，
在直角 中，可得 ，
将 沿着 展开到与平面 重合，
在直角 中，可得 ，故A错误；
对于B，如图所示，连接 ，
因为 为 的中点，可得 ，
答案第6页，共2页因为 ，所以 ，
所以过点 的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形 ，
其中 ，且 ，可得高为 ，
可得等腰梯形 的面积为 ，故B错误；
对于C，取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，可得 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
在直角 中，由 ，可得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆在正方形 内的部分，
如图所示，在直角 中，由 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
即当 时，点M的轨迹长度为 ，故C正确；
对于D，以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司如图所示，可得 ，设 ，其中 ，
则 ，
因为 与 垂直，可得 ，即 ，
令 ，可得 ；当 ，可得 ，
即直线 与正方形 的边的交点为 ，
可得 ，故D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面处理解决：
一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的
最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.
12．3
【分析】先根据方差求 ， ， 的平均数，再根据数据关系得 ， ， 的平均数.
【详解】设 ， ， 的平均数为 ，
则 ，
因为 ，所以
因此 ， ， 的平均数为
答案第8页，共2页故答案为：3
【点睛】本题考查方差与平均数，考查基本分析求解能力，属基础题.
13． /0.5
【分析】根据条件概率公式和概率加法公式即可求解
【详解】由条件概率公式可得： ，又 ，所以 ，
由概率加法公式可得： ，
所以 ；
故答案为： ．
14．
【分析】由 判断出四边形 为平行四边形，由正弦定理 ，利用
可得答案.
【详解】由 知， 为AB中点，四边形 为平行四边形，
由 与 可知，
在 中由正弦定理知， ，
在 中，有 ，又因为 ，
可得 ， ，由 ，得 ，
故离心率的取值范围为 .
故答案为： .
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次
式），进而求解离心率或范围.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用面积公式和余弦定理化简已知条件得 ，然后利用辅助角公式及正弦函数性质
求解角 即可；
（2）由向量的数量积运算律得 ，将 代入求得 ，利用余弦定理求得 ，再
利用向量运算得 ，从而求得 ，最后利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）由面积公式和余弦定理可得： ，
， ，
， .
（2）由 及 得， ，化简得
，
将 代入上式整理得： ，所以 ，
所以 ，解得 .
，
答案第10页，共2页三点共线，且 ，
所以 .
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用圆的性质判断得四边形 为菱形，再利用面积公式即可得解；
（2）结合（1）中结论，证得 ，进而得到 ，从而证得 ，由此利用线面垂直的判
定定理即可可证；
（3）利用（2）中条件，结合题设条件建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量，从而利用空间向量法即可
得解.
【详解】（1）连接 ，因为 是底面半圆弧 上的两个三等分点，
所以有 ，又因为 ，
所以 都为正三角形，
所以 ，四边形 是菱形，
则 到边 的距离为 ，
所以四边形 的面积为 .
（2）记 与 的交点为 ，连接 ，
因为四边形 是菱形，则 为 和 的中点，
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 为正三角形，
所以 ，则 ，
而在等边 中，易知 ，
即 ，所以 ，
因为 是半球面上一点， 是半球 的直径，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 .
（3）因为点 在底面圆内的射影恰在 上，
由（2）知 ，即 为点 在底面圆内的射影，所以 底面 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，即 两两互相垂直，
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，所以 ，
取 ，则 ，
设直线 与平面 的所成角为 ，
所以 ，
答案第12页，共2页故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用三角形中线为对应边的一半得到该三角形为直角三角形，
从而迎刃而解.
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导 （ ）（ ），分 ， 讨论求解；
（2）方法一：隐零点法，由 ， ，转化为证明 ，令 ，（ ），由
成立即可；方法二：（同构）由 ， ，转化为 ，进而变形为
，再构造函数 （ ），证 即可.
【详解】（1）解： （ ）（ ），
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以 ， .
当 时， ，则当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以 ，
而 ， .所以
综上所述，当 时， ， ；
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司当 时，所以 ， .
（2）方法一：隐零点法
因为 ， ，所以 ，欲证 ，只需证明 ，
设 ，（ ）， ，
令 ，易知 在 上单调递增，
而 ， ，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的 使得 ，
即 ，因此 ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递减；
当 时， ， ， 在 上单调递增；
所以
所以 ，因此 .
方法二：（同构）
因为 ， ，所以 ，欲证 ，只需证明 ，
只需证明 ，
因此构造函数 （ ），
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增：
答案第14页，共2页所以 ，所以 ，
所以 ，
因此 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据 ，利用放缩法消元为 ，从而只需证明 ，
再构造函数而得证.
18．（1） ；（2） ， ；（3）存在， 或
【解析】（1）由 和点 在椭圆上结合 可求出椭圆的方程.
（2）设 ， ，则 ，结合点A在椭圆上可求出A
点坐标，然后可得直线AB的方程，再与椭圆联立可求出B点坐标.
（3）设 ， ， ， ，设直线l： ， ，
.由 建立关于 的方程从而求解.
【详解】解：（1）由题意可知， ， ，又 ，
联立方程组可解得： ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）设 ，依题意， ， ，
，即 ，
，
又A在椭圆上，满足 ，即 ，
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，解得 ，即 ，
直线AB： ，
联立 ，解得 .
（3）设 ， ， ， ，
直线l： （斜率不存在时不满足题意），
则 ，
.
联立 ，得 .
则 ， .
由直线 的方程： ，得M纵坐标 .
由直线 的方程： ，得N纵坐标 ，
由 ，得 .
所以 ，
， ，
代入根与系数的关系式，得 ，解得 .
答案第16页，共2页存在直线 或 满足题意.
【点睛】本题考查求椭圆的方程，由直线与椭圆 的位置关系求椭圆上的点的坐标和根据有关三角形的面积关系求
直线方程,属于难题.
19．(1)
(2)
(3)①最大值为 ，最小值为 ；②证明见解析
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 的值，进而得到y关于t的回归方程；
（2）由题意可知 ，其中 ，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
（3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；
②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．
【详解】（1）解：剔除第10天的数据，可得 ，
，
则 ，
所以 ，
可得 ，所以 .
（2）解：由题意知 ，其中 ，
所以 ，又由 ，
答案第17页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 是首项为1的常数列，所以
所以 ，又因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，所以 .
（3）解：①当 为偶数时， 单调递减，
最大值为 ；
当 为奇数时， 单调递增，最小值为 ，
综上可得，数列 的最大值为 ，最小值为 .
②证明：对任意 总存在正整数 ， 其中 表示取整函数 ，
当 时， ，
所以数列 收敛.
答案第18页，共2页
