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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.（2022•新高考Ⅱ）已知集合 ，1，2， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
2.（2023全国乙卷数学（文）） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
3.（2023•乙卷）已知 是偶函数，则
A． B． C．1 D．2
4.（2023新课标全国Ⅱ卷）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
5.（2023全国甲卷数学（文））曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6.（2023新高考天津卷）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
7.（2023新课标全国Ⅰ卷）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
8.（2023全国甲卷数学（文）（理））已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则
与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2020新课标全国Ⅰ卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020新课标全国Ⅰ卷）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
11．（2022新课标全国Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
13.（2023全国甲卷数学（理））在正方体 中，E，F分别为CD， 的中点，则以EF
为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．
14.（2021•新高考Ⅰ）函数 的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.（本小题满分15分）（新题型）设函数 ，
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 是 的极大值，求a的取值范围．
16.（本小题满分15分）（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（本小题满分15分）（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆 的方程为 ，右焦点为 ，
，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ， 是椭圆 上的两点，直线 与曲线 相切．证明： ， ， 三点共
线的充要条件是 ．
18．（本小题满分17分）（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这
种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代， ，该微生物每代繁殖的
个数是相互独立的且有相同的分布列，设 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ，
1，2， ．
（Ⅰ）已知 ， ， ， ，求 ；
（ Ⅱ ） 设 表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， 是 关 于 的 方 程 ：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
19.（本小题满分17分）（新题型）若一个两位正整数 的个位数为4，则称 为“好数”.
(1)求证：对任意“好数” 一定为20的倍数；
(2)若 ，且 为正整数，则称数对 为“友好数对”，规定： ，例如 ，
称数对 为“友好数对”，则 ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 的最大
值.
