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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.（2022•新高考Ⅱ）已知集合 ，1，2， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】 ，解得： ， 集合
， ．故选： ．
2.（2023全国乙卷数学（文）） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【详解】由题意可得 ，
则 .故选：C.
3.（2023•乙卷）已知 是偶函数，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】 的定义域为 ，又 为偶函数，
， ，
， ， ．故选： ．
4.（2023新课标全国Ⅱ卷）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
5.（2023全国甲卷数学（文））曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，所以 ，
所以 所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .故选：C
6.（2023新高考天津卷）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
7.（2023新课标全国Ⅰ卷）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，且 为锐角，所以
8.（2023全国甲卷数学（文）（理））已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则
与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2020新课标全国Ⅰ卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
10．（2020新课标全国Ⅰ卷）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
不妨令 ,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
11．（2022新课标全国Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，
B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，
则 点横坐标为 ，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，
联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，
代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
13.（2023全国甲卷数学（理））在正方体 中，E，F分别为CD， 的中点，则以EF
为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．
【答案】12
【详解】不妨设正方体棱长为2， 中点为 ，取 ， 中点 ，侧面 的中心为 ，连接
，如图，由题意可知， 为球心，在正方体中， ，
即 ，
则球心 到 的距离为 ，
所以球 与棱 相切，球面与棱 只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.
14.（2021•新高考Ⅰ）函数 的最小值为 ．
【答案】1．
【解析】法一、函数 的定义域为 ．
当 时， ，
此时函数 在 ， 上为减函数，
当 时， ，
则 ，
当 ， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 上是连续函数，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增．
当 时 取得最小值为 （1） ．
故答案为：1．
法二、令 ， ，分别作出两函数的图象如图：
由图可知， （1） ，
则数 的最小值为1．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.（本小题满分15分）（新题型）设函数 ，
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 是 的极大值，求a的取值范围．
【解】（1）若 ，则 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 在 处的切线方程 ．
（2）由题意，从而 ，
①当 时， ，所以 ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，故 是 的极大值点，满足题意；
②当 时， ，所以 或 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，从而 是 的极大值点，满足题意；
③当 时， ，所以 在 上单调递增，不合题意；
④当 时， ，所以 或 ， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是 ．
16.（本小题满分15分）（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】 证明：取 中点 ，连接 ， ，为 的中点． ，且 ，
四边形 是平行四边形，故 ，
平面 ； 平面 ，
平面 ，
是 中点， 是 的点，
， 平面 ； 平面 ，
平面 ，又 ，
平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ；
侧面 为正方形，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，又 ， ，
若选①： ；又 ， 平面 ，
又 平面 ， ，又 ，
， ， ， 两两垂直，
若选②： 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
，又 ， ， ，
， ，
，又 ， ，
， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ，
，1， ， ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ， ， ，
又 ，2， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
， ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．（本小题满分15分）（2021•新高考Ⅱ）资料来源: 微信公众号 智慧学库
已知椭圆 的方程为 ，右焦点为 ， ，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ， 是椭圆 上的两点，直线 与曲线 相切．证明： ， ， 三点共线的充要条件是 ．
【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率 ，又 ，
所以 ，则 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）证明：先证明充分性，
当 时，设直线 的方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，则 ，
联立方程组 ，可得 ，
则△ ，
因为 ，
所以 ， ，
因为直线 与曲线 相切，
所以 ，则 ，
则直线 的方程为 恒过焦点 ，
故 ， ， 三点共线，
所以充分性得证．
若 ， ， 三点共线时，设直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，
所以 ；
所以必要性成立；
综上所述， ， ， 三点共线的充要条件是 ．
18．（本小题满分17分）（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这
种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代， ，该微生物每代繁殖的
个数是相互独立的且有相同的分布列，设 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ，
1，2， ．
（Ⅰ）已知 ， ， ， ，求 ；
（ Ⅱ ） 设 表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， 是 关 于 的 方 程 ：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【解析】（Ⅰ）由题意， ， ， ， ，
故 ；
（Ⅱ）证明：由题意可知， ，则 ，
所以 ，变形为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，
若 时，则 的对称轴为 ，
注意到 ， （1） ，
若 时， （1） ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
（Ⅲ）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
19.（本小题满分17分）（新题型）若一个两位正整数 的个位数为4，则称 为“好数”.
(1)求证：对任意“好数” 一定为20的倍数；
(2)若 ，且 为正整数，则称数对 为“友好数对”，规定： ，例如 ，
称数对 为“友好数对”，则 ，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 的最大值.
【解】（1）证明：设 ， 且 为整数，
∴
∵ ，且 为整数，∴ 是正整数，
∴ 一定是20的倍数；
（2）∵ ，且 为正整数，∴ ，
当 时， ，没有满足条件的 ，
当 时， ，
∴满足条件的有 或 ，
解得 或 ，∴ 或 ，
当 时， ，没有满足条件的 ，
当 时， ，
∴满足条件的有 ，解得 ，∴ ，
当 时， ，没有满足条件的 ，
当 时， ，
∴满足条件的有 或 ，
解得 或 ，∴ 或 ，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 的最大值为 .
