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2024—2025 学年第一学期期末联考高二年级数学试卷
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
命题学校：合肥七中 命题人： 审题人：
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空
间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线 l： ，则直线 l 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
3. 等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A. 63 B. 48 C. 31 D. 15
4. 在下列条件中，使 与 一定共面 是（ ）
A. B.
C. D.
5. 圆 与圆 的公共弦长为（ ）
A B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知四面体 ，所有棱长均为 2，点 E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
7. 数列 满足： ，若 ，则数列 的前 10 项的
和为（ ）
A. B. C. D.
8. 人教 A 版必修第一册第 92 页“探究与发现”的学习内容是“探究函数 的图象与性质”，函数
的图象实际上是双曲线.则函数 的图象对应的双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.
9. 等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 ： ， 为坐标原点，过点 直线 交抛物线 与 ， 两
点，则（ ）
A. 抛物线 的准线为 B.
C. D. 的最小值为 4
11. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 三棱锥 的体积为定值
B. 异面直线 AP 与 所成角的取值范围是
C. 平面 ADP 与平面 ABCD 所成夹角 余弦值取值范围是
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 双曲线 的焦距为______.
13. 过动点 作圆 的切线 ，点 为切点，若 （ 为坐标原点），则
的最小值是______.
14. 如图，曲线 上的点 与 轴上的点 （构成一系列正三角形： ，
，…， .设正三角形 的边长为 ，点 .则数列 的通项公式
为 ______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 圆 内有一点 ，AB 为圆的过点 P 且倾斜角为 的弦．
（1）当 时，求 的长；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当弦 AB 最短时，求直线 AB 的方程．
16. 已知平面上两点 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的标准方程；
（2）当 时，求点 的纵坐标.
17. 已知三棱柱 中， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
18. 在数列 中，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）记 ，且数列 的前 项和为 ，若 为数列 中的最小项，求 的取值范围.
19. 已知抛物线方程 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义：
.
（1）当 时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得 ；
（3） 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 关系.
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