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安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第四次联考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．记 为等差数列 的前n项和，若 则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
2．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C．2 D．
3．6名同学到A，B，C三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B
场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30 B．60 C．120 D．3604
4．已知 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最
大的项是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的首项为1，且 成等比数列，则数列 的前
项和为（ ）
A． B． C．505 D．1013
6．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，
从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不
同的排法共有（ ）种．
A．72 B．144 C．384 D．432
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时，，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线分别交
双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知的数 ，若 ，则
C．
D．设函数 的导函数为 ，且 ，则
10．已知曲线 ，则（ ）
A． 不经过第二象限
B．当 ， 时， 上任一点到坐标原点的距离均相等
C． 上点的横坐标的取值范围是
D． 上任一点到直线 的距离的取值范围是11．如图，在棱长为2的正方体 中，E，F分别是棱 ， 的中点，P
在线段 上，Q在底面 内，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．若 平面 ，则点Q的轨迹长度为
C．存在 平面
D．平面 截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为
三、填空题
12．在 的展开式中，含 项的系数为 ．
13．已知两点 ， ，动点M满足 ，抛物线 的焦点为F，
动点N在C上，则 的最小值为 .
14．设A，B是曲线 上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，
使得上、下两半部分所成二面角为 ，则 的最小值为 ．
四、解答题15．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
16．如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为直角梯形，
．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．已知圆 ，圆 ，若动圆 与圆 外切，且与圆
内切，记动圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线与曲线 交于两点 、 ，请问：在 轴上是否存在一点 ，
使得 ，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在请说明理由.
18．若正项数列 的前 项和为 ，首项 ， 点在曲线 上，
数列 满足 ， ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)求数列 和 的通项公式；(3)设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 第一
切 恒成立，求实数 的取值范围．
19．泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的
多项式．当 在 处的 阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
．注： 表示函数
在原点处的一阶导数， 表示在原点处的二阶导数，以此类推，和 表示在
原点处的 阶导数．
(1)求 的泰勒公式（写到含 的项为止即可），并估算 的值（精确到小
数点后三位）；
(2)当 时，比较 与 的大小，并证明；
(3)设 ，证明： ．安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第四次联考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A D D D BD ABD
题号 11
答案 ABD
1．B
解析：因为 ，所以 .
故选：B.
2．B
解析：因为曲线 ，所以
所以在点 处的切线斜率为 ，
直线 的斜率为 ，又因为两直线垂直，所以 ，所以 .
故选：B.
3．B
解析：首先安排C场馆的3名同学，即 ；
再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即 ；
最后安排2名同学到丙场馆，即 ．
所以不同的安排方法有： 种．
故选：B.
4．C
解析：展开式中的第 项为 ，
所以前三项的系数依次为 ，
依题意，有 ，即 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 .由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即 .
故选：C.
5．A
解析：设公差为 ，因为 成等比数列，
所以 ，则 ，
解得 或 ，当 时， ，
此时与 成等比数列矛盾，故排除，
当 时， ，此时令 ，
而其前 项和为 ，
，故A正确.
故选：A
6．D
解析：分3类：
①红1蓝1，红4蓝4，排成一排 ；
②红2蓝2，红3蓝3，排成一排 ；
③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排 ，
由分类加法计数原理，共 种，
故选：D．
7．D
解析：令 ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ，即 在 上是增函数，由题意 是定义在 上的偶函数，所以 ，
所以 ，所以 是偶函数，在 单调递减，
所以 ， ，
即不等式 等价为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选：D
8．D
解析：因为 ，所以 ∽ ．
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ．
由双曲线定义知 ，即 ，解得 ．
又由 ，得 ，
所以 ，即 是等腰三角形．
由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，所以 ，
则双曲线 的渐近线方程为 ．故选：D
9．BD
解析： ，故A错误．
对于B,因为 ，若 则 ，即 ，故B正确．
对于C,因为 ，故C错误．
对于D,因为 ，故 ，故 ，D正确．
故选：BD
10．ABD
解析：对于A，当 时， 的方程为 ，方程无解，
所以曲线 不经过第二象限，故A正确；
对于B，当 时， 的方程为 ，即 ，
此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆，
所以当 时， 上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确；
对于C，当 时， 为双曲线 在第一象限的部分，
当 时， 为双曲线 在第三象限的部分，
所以曲线 的图象，如图所示，则 上点的横坐标的取值范围是 ，故C错误；对于D，因为直线 是双曲线 与双曲线 的公共渐近线，
所以 上任一点到直线 的距离都大于0，
又 上任一点到直线 的距离的最大值即四分之一圆 上的点到直
线 的距离的最大值为2，故D正确．
故选：ABD
11．ABD
解析：对于A，由 ，得 的面积 为定值，
由平面 平面 ，得三棱锥 的高为定值2，
，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 ，得 ，
设 ， ，， ，则 ，
由 平面 ，
得 ，
即点 的轨迹方程为 ，令 ，得 ；令 ，得 .
又点 在底面 内，
因此点 的轨迹长度即为两点 间的距离 ，B正确；
对于C，若存在 平面 ，则 ，由 ，
得 ， ，因此不存在 平面 ，C错误；
对于D，由 平面 ，得点 到平面 的距离 为定值，
而 ，则 ，
而 ，则该球的半径 ，
截面圆的半径 满足 ，
则截面面积的取值范围为 ，D正确.
故选：ABD
12．
解析：依题意， 展开式中含 的项是 ，含 的项是
，
因此 的展开式中，含 的项为 ，所以所求系数为 ．
故答案为： .
13．3
解析：因为点M满足 ，
设 ，则 ，
两边平方整理得 ，
即点M的轨迹为圆心 ，半径为2的圆，
的最小值是M到准线 的最短距离，
因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小，
圆心 到准线 的距离是 ，
圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是 ，
因此， 的最小值是
故答案为：
14．
解析：
设 ，在平面直角坐标系中，过A作 轴于点C，过B作 轴于点D，
则 ，且分别在上下两个半平面内，折叠后
即有 ，
因为 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： .
15．(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)
解析：（1）当 时，函数 的定义域是 ， ，
令 ，得 ，解得 ，故 的单调递减区间是 ，
令 ，得 ，解得 ，故 的单调递增区间是 ，
综上， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .（2）由任意 ， 知 恒成立.
因 ，故 ，在 上恒成立.
设 ，则 ，
令 ，得 ， （舍去），
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取得极大值，也是最大值，且 ，
所以若 在 上恒成立，则 ，
故实数 的取值范围是 .
16．(1)证明见解析
(2) ．
解析：（1）取 的中点O，连接 ，由 ，得 ，
由平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
得 平面 ，而 平面 ，则 ，
在直角梯形 中， ，
则四边形 为正方形，即 ，又 ，且 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，所以 .
（2）由（1）知，直线 两两垂直，以O为原点，直线 分别为
轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
因此 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17．(1)
(2)存在，
解析：（1）设动圆的半径为 ，由题意 ，，
又 ，故 的轨迹为以 、 为焦点，长轴长为6的椭圆.又因为圆 和圆 内
切，所以左顶点不满足，
， ， ，
故 的方程为 ；
（2）假设存在点 ，使得 ，
当直线 的斜率不存在时， 恒成立
当直线 的斜率存在时，
设 ，点 ，
，得
， ，
因为 ，所以
，
所以 ，
化简得 ，
代入解得 ，
即存在点 ，使得 .
18．(1)证明见解析(2) ；
(3)
解析：（1）证明：由 点在曲线 上，可得 ，
由于是正项数列的和，所以两边开方得： ，因为 ，
所以数列 为公差为 ，首项为 的等差数列；
（2）由数列 为公差为 ，首项为 的等差数列可得，
，即 ，
当 时， ，
由 知，上式对 也成立，则 ；
数列 满足 ， ，且 ，
可得 ，故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
可得 ；
（3）由于 ，
所以前 项和为 ，
则 ，
两式相减可得
，
化简可得 ，由不等式 对一切 恒成立，
可得 为奇数时， 恒成立，
由 递增，可得最小值为 ，即有 ，可得 ；
为偶数时， 恒成立，
由 递增，可得最小值为 ，即有 ，
综上可得： ．
19．(1) ， ；
(2) ，证明见详解；
(3)证明见解析.
解析：（1）因为 ，
所以
所以 的泰勒公式为： ，
所以
（2）记 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 时有 ，
所以 .（3）由（2）知， ，即 ，
所以 ，
即 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，故 ，
所以 ，
则 ，即 .
