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试卷类型：A
2021 级高三上学期期中校际联合考试
数学试题
2023.11
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
3.以点 为对称中心的函数是（ ）
A. B. C. D.
4.在 中，点M是边 上靠近点 A的三等分点，点 N是 的中点，若 ，则
（ ）
A.1 B. C. D.-1
5.函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ）A. B.
C. D.
6.已知 ， ， ， ， 成等比数列，且2和8为其中的两项，则 的最小值为（ ）
A.-64 B.-16 C. D.
7.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越
大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长 为40米，宽 为20米，
球门长 为4米且 .在某场比赛中有一位球员欲在边线 上某点 处射门（假设球贴地直线运
行），为使得命中率最高，则 大约为（ ）
A.8米 B.9米 C.10米 D.11米
8.已知正方体每条棱所在直线与平面 所成角相等，平面 截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为
，周长为 ，则（ ）
A. 不为定值， 为定值 B. 为定值， 不为定值C. 与 均为定值 D. 与 均不为定值
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.m，n是空间中两条不同的直线， ， ， 是空间中三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ， ，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
B. 的最大值为-2
C.若 ，则
D.命题 “ ， ”的否定是“ ， ”
11.已知定义在 上的函数 和 ， 是 的导函数且定义域为 .若 为偶函数，
， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知正方体 的棱长为2， ， 分别为 ， 的中点，P为正方体的内切球 上
任意一点，则（ ）
A.球 被 截得的弦长为
B. 的范围为
C. 与 所成角的范围是
D.球 被四面体 表面截得的截面面积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 的二项展开式中常数项为_________.
14.已知向量 ， ，其中 ， ， ，若 ，则实数 的值为
__________.
15.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，
经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.
如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步
“ 雹 程 ” ） .“ 冰 雹 猜 想 ” 可 表 示 为 数 列 满 足 ： （ m 为 正 整 数 ） ，
.问：当 时，试确定使得 需要___________步“雹程”；若
，则 所有可能的取值所构成的集合为______________.
16.已知函数 ，点A，B是函数 图象上不同的两个点，则 （ 为坐
标原点）的取值范围是________.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求 ；
（2）将 中满足 的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列 ，求 的
前20项和 .
18.（12分）
设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， .
（1）求A；
（2）设D是 边上靠近A的三等分点， ，求 的面积.
19.（12分）已知函数 在 处取得极值-1.
（1）求a，b的值；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围.
20.（12分）
已知两个正项数列 ， 满足 ， .
（1）求 ， 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的前 项和 .
21.（12分）
如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面圆O的内接正三角形，点E
在母线 上，且 ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点M为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
22.（12分）
已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若方程 的两根互为相反数.
①求实数 的值；②若 ，且 ，证明： .
2021 级高三上学期期中校际联合考试
数学试题答案
2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1-4DACB 5-8DBCA
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.BC 10.AB 11.AC 12.ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.20 14. 15.12； 16.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（1）因为数列 满足 ①，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，②
①-②得 ，即
因 ，所以 ，从而 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .故数列 的通项公式为 .
（2）根据题意可知 ，
故 ， .
所以 取出的项就是原数列的偶数项，所以 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以 .
18.解；（1）在 中，由 ， 得： ，
由正弦定理得 ，
而 ，即 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）依题意， ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，解得 ，
所以 的面积 .
19.解：（1）由题意知 ， ，
因为 在 处取得极值-1，所以 ， ，
解得 ， ，
即 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
即 在 处取得极小值-1，符合题意，故 ， .
（2） 在 上恒成立，
即 在 内恒成立.
令 ， ，则 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，经验证 符合题意，即 的取值范围为 .
20.解：（1）由 ，得 ，由 ，得 ，∴ ，因为
是正项数列，∴ ，∴ ；
（2） ，
所以 ，所以当
当 时， 满足 ，所以 .
21.解：（1）如图，设 交 于点 ，连接 ，由圆锥的性质可知 底面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 是底面圆的内接正三角形，由 ，可得 ， ，
解得 ，又 ， ，所以 ，即 ， ，
所以在 中， ，
在 中，由余弦定理：
，
所以 ，故 .
因为 底面 ， 面 所以平面 平面 ，
又 面 ， 面 面 ， ，故 面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）易知 ，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设 ，可得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即 ，令 ， ，
则
当且仅当 时，等号成立，所以当 时， 有最大值4，
即当 时， 的最大值为1，此时点 ，
所以 ，
所以点M到平面 的距离 ，
故当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，点 到平面 的距离为 .
22.（1）解：根据题意可得： .
令 ，得 ，令 ，得 ，
故函数 的增区间是 ，减区间是 .（2）①解析：根据题意得： ， ，
即 ， ，
设方程 的两根分别是 和 ，故
①
，即 ②
①-②可得： ③
令 ，则
易证 ，所以 单调递增，又 ，所以当且仅当 时， ；
所以，若 时，由①式可知： ，不可能成立；
故 ，即 ，由③式可知： ，可得 ；
（2）因为 ，可得 ，则 ，
设 在 处的切线斜率为 ，则 ，
又 ，则 在 处的切线方程为 ，
设 ， ，则 ，且 ，
设 ，则 ，
又 ，则 ，所以 在 上单调递增，且 ，
则当 时， ；
当 时， ，则 ，即 ， ，（切线放缩）
分别令 ，且满足 ， ，
则
令 ，则 ，
故 .
