文档内容
龙岩市 2024 年高中毕业班三月教学质量检测
数学试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.考生将自己的姓名､准考证号及所有的答案均填写在答题卡上，
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C.-8 D.8
3.已知互相垂直的平面 交于直线 ，若直线 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中 的系数为（ ）
A.-91 B.-21 C.14 D.49
6.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.2
7.已知直线 与抛物线 相交于 两点，以 为直径的圆与抛物线 的准
线相切于点 ，则 （ ）
A.4 B. C.5 D.68.已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. D. 的周期为3
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
10.已知点 与圆 是圆 上的动点，则（ ）
A. 的最大值为
B.过点 的直线被圆 截得的最短弦长为
C.
D. 的最小值为
11.如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，点
满足 ，下列说法正确的是（ ）
A.不存在 使得B.若 四点共面，则
C.若 ，点 在侧面 内，且 平面 ，则点 的轨迹长度为
D.若 ，由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体 和 ，某球能够被整体放入 或 ，则
该球的表面积最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.定义在 上的函数 满足 ，且 在 上单调递减，则不等式
的解集为__________.
13.在 中， 为 上一点， 为 的角平分线，则
__________.
14.斜率为-1的直线与椭圆 交于 两点，点 是椭圆上的一点，且满足 ，
点 分别是 的重心，点 是 的外心.记直线 的斜率分别为 ，若
，则椭圆 的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该
市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整
理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病
未感染支原体肺炎 60 80
感染支原体肺炎 40 20
（1）试根据小概率值 的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有
关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以
上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附： .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16.（本题满分15分）
如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ，
，设平面 平面 .
（1）作出 （不要求写作法）；
（2）线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？请说明理由；
（3）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17.（本题满分15分）
设等差数列 的公差为 ，令 ，记 分别为数列 的前 项和.
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 是公比为正数的等比数列， ， ，求数列 的前 项
和 .
18.（本题满分17分）
已知函数 是大于0的常数，记曲线 在点 处的切线为 在 轴上的
截距为 .（1）若函数 ，求 的单调区间；
（2）当 时，求 的取值范围.
19.（本题满分17分）
已知双曲线 是双曲线 的左顶点，直线 .
（1）设直线 过定点 ，且交双曲线 于 两点，求证：直线 与 的斜率之积为定值；
（2）设直线 与双曲线 有唯一的公共点 .
（i）已知直线 与双曲线 的两条渐近线相交于两点 ，求证： ；
（ii）过点 且与 垂直的直线分别交 轴､ 轴于 两点，当点 运动时，求点 的
轨迹方程.
