文档内容
2024 年定位考试
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）D （3）B （4）A （5）D
（6）B （7）D （8）C （9）C （10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一）
（15）① ③ ④
说明：12, 13, 14题都是第一个空3分，第二个2分；
15题 对一个给1分，对两个给3分，全对给5分，如果有错的，则给0分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）连接 ，在 中，
因为 分别为 ， 的中点，
所以 ……….2分
又 平面 ， 平面
所以 平面 ． ……….4分
（Ⅱ）因为直三棱柱
所以 平面 ，
所以 ，
……….5分
又 为直角，
所以 ， ……….6分
又
所以 平面 ， ……….7分
所以 ，
由（Ⅰ） ，
所以 . ……….8分
（Ⅲ）建立空间直角坐标系 ， ……….9分
则 ， ， ， ．因此 ， ．
设平面 的法向量为 ，则
即 ……….11分
令 ，于是 ． ……….12分
设直线 与平面 所成角为 ．
所以 ． ……….14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理 ， ……….3分
所以 ． ……….4分
代入得
所以 . ……….5分
（Ⅱ）选择条件①： ． ……….6分
因为 ， 所以 . ……….8分
因为 为锐角，所以 ……….9分
由余弦定理 ， ……….11分
代入得到
所以 .
解得 ， （舍）. ……….12分
所以 的周长为 . ……….13分
选择条件②： . ……….6分
因为 ，所以 , ……….7分
所以 ，以下同选择①.
选择条件 ③： ． ……….6分
因为 ， 所以 . ……….8分因为 为锐角，所以 ……….9分
由余弦定理 ， ……….11分
代入得到
所以 , ……….12分
所以 的周长为 . ……….13分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件 为“某一天此款甜品销售量不超过 个”， ……….1分
所以 ． ……….4分
（Ⅱ） . ……….5分
，
，
，
，
所以 的分布列为
……….9分所以
……….11分
（Ⅲ）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.
因为以前此款甜品的日销售量大于70个的频率为 ，
现在30天中有20天销售量大于70个，其频率 远大于改进前,
所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化． ……….13分
(也可认为无法确定有无变化，30天中有20天销售量大于70个是随机事件，按之前频率
估计计算30天中有20天销售量大于70个的概率比较小，一般不容易发生，但还是有可
能发生的，所以无法确定有没有变化)
（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，
所以 的方程为 ． ……….5分
（Ⅱ）法一：
设 ，所以 ……….6分
所以 ， ……….7分
直线 的方程为 ． ……….8分
令 ，得 ……….9分
又 ， ……….10分
直线 的方程为 ． ……….11分
令 ，得 ， ……….12分
所以 ．
所以 ， ……….14分
所以 ，
所以 ，
所以 ， . ……….15分
法二：
由题意直线 斜率存在，且不为0，设直线 的方程为 ．
……….6分
令 ，得 ……….7分
由 得 ． ……….8分易得 ．设 ，则 ， ……….9分
，所以 ……….10分
直线 的方程为 ． ……….11分
令 ，得 ， ……….12分
所以 ． ……….13分
所以 ， . ……….14分
所以 ， . ……….15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当 时， ，
所以 ． ……….2分
所以 ． ……….3分
所以直线 的倾斜角为 . ……….4分
（Ⅱ）因为 ． ……….5分
所以 ， ……….6分
所以直线 的方程为 ， ……….7分
令 . ……….8分
法一：
当 时， ，
所以 .
当 时， ，
所以 ， ……….9分
所以 对 且 成立，
即除切点 之外，曲线 在直线 的上方. ……….10分法二：
因为 ，
所以 时， ．
时， ， ，
与 的变化情况如下表：
↘ ↗
……….9分
所以，函数 在 处取得最小值 ，
所以 对 且 成立，
即除切点 之外，曲线 在直线 的上方. ……….10分
（Ⅲ）因为函数 在 上单调递增，
所以 对 成立 ……….11分
令 ， ……….12分
所以 ， ……….13分
所以 对 成立， 所以 在 上单调递增， ……….14分
所以只需 ， 所以 .
所以 的取值范围为 . ……….15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ） ， ， ， , . ……….4分
（Ⅱ）假设数列 单调递增，
因为 ， 所以 ，
所以
所以
所以 ，所以 ，矛盾.
所以假设不成立，
所以数列 不是单调递增数列. ……….9分
（Ⅲ）若 ，
因为 ， ，
所以
因为 ，又 ，所以 ， ……….11分
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，且
所以
所以
所以
即 ，所以 ，
又 所以 ，
此时 ，矛盾
所以不存在 ，使得 . ……….15分
