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2025-2026学年高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知向量 ， ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知直线 与直线 平行，则a的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．2或
3．已知直线l经过点 ， ，则正确的是（ ）
A．直线l的斜率为1 B．直线l的倾斜角为
C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为
4．经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则
（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥O-ABC中，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且 ，用向量 ，
， 表示向量 是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆 ： 与圆 ： 有公共点，则实数a的可能取值为
（ ）
A． B． C．2 D．37．已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，点 在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是
（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体 中，点P在线段 上，若直线DP与平面 所成的角为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线l： ，圆C： ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相离，则点A在圆C内
B．若直线l经过点A，则点A在圆C上
C．若点A在圆C内，则直线l与圆C相交
D．若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为
10．在平行六面体 中，各棱长均为2， .则下列命题中正确的
是（ ）A．
B．
C． 不是空间的一组基底
D．直线 与底面 所成角的正弦值为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： ，点 为曲线C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C为中心对称图形
C．直线 与曲线C有且仅有两个公共点
D．点P的横坐标 的取值范围为
三、填空题
12．已知点 ， ， ，使得 与 垂直的x值为 .
13．已知圆C： ，直线l过点 ，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为
.
14．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A， ，B三点共线，且
， ，则双曲线E的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆心为C的圆经过点 和 ，且圆心C在直线 上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点 在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF，求四边形EHFG的面积.
16．如图，已知在四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，点Q在棱PA上，且 ，底面为直角
梯形， ， ， ， ，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求证： 平面PCB；
(2)直线AD与直线CN所成角的余弦值.
17．已知点 在双曲线C： （ ， ），且C的实轴长为2， ， 分别为C的左、右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若P为双曲线上一点.
①当 时，求 的面积；
②求 的取值范围.
18．如图1，在四边形 中， ， ， ，如图2，把 沿
折起，使点 到达点 处，且平面 平面 ， 为 的中点.
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)判断线段 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 .若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
19．已知 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点， 轴上方的两动点
在 上，且 ，当 时， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 ，求 的坐标；(3)椭圆 上的任意一点 及（2）中的点 ，点 在圆 上，求 的最小值.1．C
由数量积的坐标运算即可求解.
【详解】 ，
所以 ，
故选：C
2．A
根据平行得到方程，解出 值后再检验即可.
【详解】由题意得 ，解得 或 ，
当 时，直线 与直线 平行，满足题意；
当 时，直线 与直线 重合，不合题意，舍去.
则a的值为 .
故选：A.
3．B
由两点求得斜率，进而逐项判断即可.
【详解】由斜率公式得 ，
所以倾斜角为 ，方向向量为 ，
法向量为 ，其中 ，所以A，C，D错误，B正确.
故选：B
4．B
先求得直线 的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.
【详解】在 中， ， ，
所以 ，即 ，
故左焦点为 ，而 ，
故直线 的方程为 ，联立 得 ，
，设 ， ，
由韦达定理得 ， ，
则由弦长公式得 ．
故选：B．
5．C
根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案.
【详解】依题意，
.
故选：C.
6．B
由圆心距和半径和差的关系构造不等式求解即可.
【详解】 ，圆心 ，半径为1，
，圆心为 ，半径为 ，
因为两圆有公共点，
所以 ，
解得 ，
结合选项只有B符合，
故选：B7．A
根据已知条件求得 ，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】因为双曲线的两个焦点分别为 ， ，
故双曲线的方程为 ，且 ，
又点 在该双曲线上，所以 ，解得 ，
所以 ，故该双曲线的渐近线方程是 .
故选：A
8．D
设正方体的棱长为1，且 ，以点 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得 和平
面 的法向量 ，结合向量的夹角公式，求得 ，结合二次函数的性质，
即可求解.
【详解】设正方体的棱长为1，且 ，
以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，则 ，
设 ，即
当 时， ；当 或 时， ，
所以 .
故选：D.
9．ABD
根据直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，逐项计算判断即可得结论．
【详解】对于A，若直线l与圆C相离，则 ，所以 ，
所以点A在圆C内，故A正确；
对于B，若直线l经过点A，则 ，则 ，
所以点A在圆C上，故B正确；
对于C，若点A在圆C内，则 ，
则圆心C到直线的距离 ，
所以直线l与圆C相离，故C错误；
对于D，若点A在圆C上，则 ，当 且 时，则 ，则过点A的圆的切线斜率为 ，方程为 ，化简得 ，
当 时， ，则过点A的圆的切线斜率为 ，切线方程为 ，满足 ，
当 时， ，则过点A的圆的切线斜率不存在，切线方程为 ，满足 ，
综上所述：若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 ，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
对于A，由向量的线性运算及模长公式求解即可；对于B，可证明 即可判断；对于C，由题可
得 即可判断；对于D，连接 交于点 ，过 作 交 于 ，
可证 平面 ，则 就是直线 与底面 所成角，再求边长确定余弦值即可．
【详解】对于A， ，
，故A错误；
对于B， ， ，
，
，故B正确；
对于C， ，即 共面，
即 不是空间的一组基底，故C正确；对于D，连接 交于点 ，
易知 ，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，所以 ，
过 作 交 于 ，
平面 ， ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
则 就是直线 与底面 所成角，
，
，
，则 ，
，
即直线 与底面 所成角的正弦值为 ，故D正确；
故选：BCD．
11．BC将 、 代入方程可判断A、B；联立直线 与曲线C： ，解方程组可判
断C；由 ，解不等式判断D.
【详解】将方程中 的 用 替换可得 ，即 ，
因为所得方程与方原程不恒等，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误；
将方程 中的 用 替换， 用 替换，
可得 ，即 ，新方程与原方程相同，
所以曲线关于原点对称，故B正确；
联立 ，则 ，整理得 ，
因为 ，所以方程 有两不等的解，
所以直线 与曲线C有且仅有两个公共点，故C正确；
由C： ，则C： ，
可得 ，解得 ，所以点P的横坐标 的取值范围为 ，故D错误.
故选：BC.
12．
根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ， ，
则 ，
则 ，即 ，解得 .故答案为： .
13． 或
根据题意，分过点 的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】当过点 的直线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
因为圆心 到切线的距离等于半径1，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
当过点 的直线的斜率不存在时，其方程为 ，
圆心 到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意，
综上所述，所求的直线的方程是 或 .
故答案为： 或 .
14．
设 ，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出 ，从而利用勾股定理求出
，从而得到离心率.
【详解】如图，由 ⊥ ， 可得 ，
所以 ，可得 ，
在Rt 中，由 ，不妨设 ，则 ，
由勾股定理得 ，又由双曲线的定义可得 ， ，
根据 可得 ，解得 ，
所以 ， ，
故在 中， ，即 ，
故 ，
故双曲线E的离心率为 ．
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）设圆心 ，根据 解得 ，即可得圆心和半径，进而可得方程；
（2）根据圆的性质分析可知最长弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，进而可求面积.
【详解】（1）由题意设圆心 ，
因为 ，即 ，
解得 ，即 ，则半径 ，
所以圆C的标准方程为 .
（2）因为 ，
由圆的性质可知过点P的最长弦过圆心，即为直径，即 ，
且最短弦EF垂直于GH，可得 ，
所以四边形EHFG的面积 .
16．(1)证明见解析
(2)
（1）根据线面平行判定定理求解；
（2）根据异面直线夹角的公式 求值.
【详解】（1）（1）法一：取 的中点 ，连接 ,则 ， .
依题意得， ， ，
则四边形 为平行四边形， ，
为 的中点，所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 .法二：以 为原点，以 分别为 建立空间直角坐标系 ，
由 ， ， ， ， ， 分别是 的中点，
可得： ， ， ， ，
， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的法向量 ，
则有 即 ，令 ，则 ， ，
则 ，又 平面
平面 .
（2）（2）法一：由（1）知， ，
则直线 与直线 的所成角为直线 与直线 的所成角
因为 ， ，所以
在 中，
则直线 与直线 所成角的余弦值为法二：由（1）知 ， ,
,
所以直线 与直线 所成角余弦值为 .
17．(1)
(2)① ；②
（1）由点在双曲线上，和实轴长得到 ，求解即可；
（2）①由余弦定理得到 ，再由面积公式即可求解；② ，得到 ，
，结合数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题设条件，可得 ，
解得 ， ，
故双曲线C的标准方程为 ；
（2）①因为P为双曲线C： 上的一点，
所以 ，平方得 ①，
在 中，由余弦定理，得
，
即 ②，
由①－②，得 ，即 ，
所以 的面积 ；
②设 ，则 ，所以 ， ，
因为 ， ， ， ，
，
所以 的取值范围是 .
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
（1）在图1中，证得 ，取AC的中点O，证得 ，利用线面垂直的判定定理，证得
平面 ，即可证得 ；
（2）以 为原点，分别求得平面 和平面 的法向量 和 ，结合向量的夹角公
式，即可求解；
（3）设点 到平面 的距离为d，根据题意，求得 ，得到点 到平面 的距离为 ，令 得到 ，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：在图1中，由 ，可得 ，
所以 ，则 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
在图2中知 ，取AC的中点O，连接QO，BO，
又因为Q为PC的中点，可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：由题意知，平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，所以 平面
ABC，所以直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 分别为坐标轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，因此 ，
令 ，可得 ， ，所以 ，因此 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
（3）解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为 ，
在 中， ，可得 ，
因为三棱锥 的体积为 ，
设点 到平面 的距离为d，可得 ，因此 ，
因此点 到平面 的距离为 ，
令 （ ），由（2）得， ，
又因为平面 的法向量为 ，
则点 到平面 的距离为 ，解得 ，
所以线段 上存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，且 .
19．(1)
(2)(3)
【详解】（1）由题可知 ，即 ，
若 ，且 ，则此时 轴，即
所以 ，即 ，解得 ， ，
所以椭圆C的标准方程 .
（2）设 ， ， ， ，
由题可知 ，则 ，解得
因为两点M，N在椭圆C上，所以 ，所以 ，
即 ，
解得 ， ，所以M的坐标为 .（3）由题意 ，设 ， ，使 ，
即 ，则 ，
整理得 ，
又点Q在圆 上，所以 ，解得 ，
由椭圆定义得 ，
所以
当 三点共线时， ，
所以 有最小值 .
