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高三数学 10 月考
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 复数 （i为虚数单位）复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 12 D. 36
4. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. -6 B. 0 C. D.
5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了
“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过的时间 （小时）的大致关系： ，则记忆率为20%
时经过的时间约为（ ）（参考数据： ， ）
A. 80小时 B. 90小时 C. 100小时 D. 120小时
6. 已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 7 C. D.
7. 已知 为 锐角， ，则 （ ）
公众号：黑洞视角A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
的
A. 若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于 成中心对称
D. 的递减区间是
10. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ，则（ ）
A. 一定是递增数列 B. 可能是递增数列也可能是递减数列
C. 、 、 仍成等比 D. ，
.
11 已知 则（ ）
A. B. C. D.
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车
发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如
图是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.
公众号：黑洞视角经过 秒后，水斗旋转到点 ，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足 （ ， ，
），则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 当 时，函数 单调递增
C. 当 时， 的最大值为
D. 当 时，
三、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题
卡相应位置上.
13. 展开式的常数项为______.
14. 国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择
自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名
同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为
________.
15. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （
）得到函数 的图象，若在区间 内有5个零点，则 的取值范围是____.
16. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为________.
公众号：黑洞视角四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的取值范围．
18. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19. 某专营店统计了最近 天到该店购物的人数 和时间第 天之间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数 与时间 之间的关系？（若 ，则认为线性相
关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算 时精确到 ）
（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满 元可减 元；方案二，购物金额超过
元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 折，中奖两次打 折，中奖三次打
折.某顾客计划在此专营店购买一件价值 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更
优惠？
公众号：黑洞视角参考数据： .附：相关系数 .
20. 如图，在四面体 中， 平面 ， 是 的中点， 是 的中点， 是线段 上的一点，
.
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若 ，且二面角 为直二面角，求实数 的值.
21. 已知函数 ，函数 与 关于点 中心对称．
（1）求 的解析式；
（2）若方程 有两个不等的实根 ， ，且 ，求a的值．
.
22 已知函数 .
（1）若 ，求 的极值.
（2）若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
公众号：黑洞视角DADCC DCB 9AC 10BCD 11BCD 12AD
13 15 14
15 16 2
17（1）因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
而 ，则 或 ，
即 或 （舍去），故 ．
（2）
18（1） ，
（2） ， .
19
（1）可以， 解： ， ，
所以， ，
， ，
公众号：黑洞视角所以， ，
所以， 与 的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数 与时间 之间的关系.
（2）方案二更优惠，解：设方案一的实际付款金额为 元，方案二的实际付款金额为 元，
由题意可知， （元），
的可能取值有 、 、 、 ，
， ，
， ，
所以， ，
所以，方案二更优惠.
20（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
因为 为 的中点， 为 的中点，则 ，所以， ，
又因为 ，即 ，所以， ，则 ，
公众号：黑洞视角因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
又因为 为 的中点，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 .
（3）
21（1）
（2）
22（1）极小值为 ，无极大值
（2）
公众号：黑洞视角
