文档内容
2025-2026学年高二上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题
1．直线 的斜率为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知 ， ，则线段 的中点坐标为（ ）
A．（1，4） B．（2，1） C．（2，8） D．（4，2）
3．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．双曲线 的实轴长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知圆 和圆 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
6．如果椭圆 上一点P到焦点 的距离等于2，则点P到另一个焦点 的距离为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．过圆 上一点 作圆的切线 则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知过椭圆 的左焦点 的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 在 轴， 轴上的截距分别为3，2；
B．两条平行直线 与 的距离为
C．直线 恒过定点
D．过点 ，且与直线 垂直的直线方程为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知圆的方程为 ，则此圆的圆心坐标为
B．两圆 与 的公切线有 条
C．圆 关于点 对称的圆方程为
D．若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则
11．平面直角坐标系中椭圆 的中心为原点，焦点在坐标轴上，点 、 均在椭圆 上，则
（ ）
A．点 在椭圆 上
B．椭圆 的离心率为
C．直线 与椭圆 相交D．若椭圆 上弦 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为
三、填空题
12．双曲线 的渐近线方程为 .
13．已知直线l: 和圆心为C的圆 ,则直线l被圆C截得的弦长为 ．
14．已知 ， ， 三点，点P在抛物线 上运动，则 的最小值
为 ．
四、解答题
15．分别求满足下列条件的直线方程.
(1)过原点，且经过直线 与直线 的交点；
(2)斜率为 ，且到点 的距离为 .
16．分别求满足下列条件的圆的方程
(1)过点 ，圆心为 ；
(2)圆心在第一象限，半径为 ，且与直线 相切于点 ．
17．分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是 ，并且经过点 的椭圆方程；
(2)焦点在直线 上的抛物线方程.
18．已知椭圆 ， 、 分别是左、右焦点， 是椭圆 上一点， 的最大值为
，当 为椭圆上顶点时，直线 的倾斜角为 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作直线 交于椭圆 、 两点
（ ）若直线 的倾斜角为 ，求线段 的长；
（ ）求 的面积最大值.
19．已知 ， ， 三点
(1)求 外接圆方程；
(2)若过点 的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的
中点？请说明理由？
(3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C A A C D ACD ABD
题号 11
答案 BC
1．B
直线方程一般式转化为斜截式.
【详解】 化简得 ，所以斜率为2.
故选：B.
2．A
用中点坐标公式即可求解.
【详解】设线段 的中点坐标为 ，则 ，
即 ，则线段 的中点坐标为 .
故选：A.
3．C
由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.
【详解】由抛物线方程知其焦点在 轴上且 ， 其焦点坐标为 .
故选：C.
4．C
由双曲线的标准方程可以直接得出答案.
【详解】双曲线 中， ，
则实轴长 .
故选：C
5．A
由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系.
【详解】由圆 方程知：圆心 ，半径 ；由 ，得 ，
所以圆心 ，半径 ；
圆心距 ，所以圆 与圆 外切.
故选：A
6．A
根据椭圆的定义可以解.
【详解】由椭圆的定义得： ，所以 .
故选：A
7．C
先求圆心C， 和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程.
【详解】由题意得：圆心 ，所以 ，且 ，解得 .
所以直线 的方程为： ，化简得： .
故选：C
8．D
取椭圆的右焦点为点 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，利用三角形中位线定理和相似形求出点
的坐标，代入椭圆方程求出 的值，即可求得离心率.
【详解】如图，取椭圆的右焦点为点 ，连接 ，则 ，
因为点C，F是线段AB的三等分点，则C为 的中点，而O为 的中点，
可得 ，因 ，故 ，将 代入 ，可得 ，
根据椭圆对称性，不妨取点 ，过点 作 轴于点 ，易得 ，
可得 ，因 ，则 ，即得 ，
代入 可得 ，又 ，代入解得 ，
故该椭圆的离心率为 .
故选：D.
9．ACD
A选项，由直线截距式进行判断；B选项，将直线变形，利用两平行线间距离公式直接求解；C选项，由
直线点斜式进行判断；D选项，设出直线方程，利用待定系数法进行求解.
【详解】A选项，由直线截距式可知 在 轴， 轴上的截距分别为3，2，A正确；
B选项，直线 ，即 ，
与 的距离为 ，B错误；
C选项，由直线点斜式可知 恒过定点 ，C正确；
D选项，设直线方程为 ，将 代入可得 ，
解得 ，故直线方程为 ，D正确.
故选：ACD
10．ABD
将圆的方程化为标准方程，可判断A选项；判断两圆的位置关系，可判断B选项；求出对称圆的方程，可
判断C选项；根据直线与圆的位置关系求出 的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，圆 的标准方程为 ，其圆心为 ，A对；
对于B选项，圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，因为 ，则圆 与圆 外切，故两圆有 条公切线，B对；
对于C选项，原点关于点 的对称点为 ，
故圆 关于点 对称的圆方程为 ，C错；
对于D选项，圆 的圆心为原点 ，半径为 ，
原点到直线 的距离为 ，
若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则 ，
即 ，解得 ，D对.
故选：ABD.
11．BC
求出椭圆 的方程，利用点与椭圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用
直线与椭圆的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项.
【详解】设椭圆 的方程为 ，由题意可得 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ，
对于A选项，因为 ，故点 不在椭圆 上，A错；
对于B选项， ， ，则 ，
所以椭圆 的离心率为 ，B对；
对于C选项，直线 的方程可化为 ，该直线过定点 ，因为 ，则点 在椭圆 内，故直线 与椭圆 相交，C对；
对于D选项，若 的斜率不存在，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，
所以直线 的斜率存在，设点 、 ，由题意可得 ，
因为 ，两个等式作差得 ，
所以 ，故 ，D错.
故选：BC.
12．
求出 、 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】在双曲线 中， ， ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为： .
13．
先求圆心到直线的距离 ,再计算 即可求出弦长.
【详解】圆 化为标准方程为: ,
圆心 , ,
,弦长为 .
故答案为: .
14． /
依题意，设点 ，根据两点间距离公式将所求式化成关于 的二次函数，利用其配方法即可求得最
小值.
【详解】由题意，设点 ，则
，
故当 时，即当点 的坐标为 时， 取得最小值 .
故答案为： .
15．(1)
(2) 或
（1）求出直线交点的坐标，设所求直线方程为 ，将交点坐标代入所求直线方程，求出 的值，即可
得出所求直线的方程；
（2）设所求直线的方程为 ，利用点到直线的距离公式求出 的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】（1）联立 得 ，故直线 与直线 的交点为 ，
根据题意，设所求直线的方程为 ，
将点 的坐标代入直线方程得 ，故所求直线方程为 .（2）设所求直线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，解得 ，
故所求直线的方程为 ，即 或 .
16．(1)
(2)
（1）求出圆的半径，结合圆心坐标可得出圆 的方程；
（2）设圆心坐标为 ，其中 ， ，根据已知条件得出关于 、 的方程组，解出这两个未知
数的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】（1）由题意可知，圆 的半径为 ，
故圆 的标准方程为 .
（2）设圆心坐标为 ，其中 ， ，记点 ，
由题意可知直线 与直线 垂直，则 ，
又因为 ，解得 ，即圆心为 ，
故所求圆的方程为 .
17．(1)
(2) 和
（1）根据题意可得 ，再由椭圆的定义列式求出 的值，进而求得 的值，即得椭圆方程；
（2）先求出直线 与两坐标轴的交点，由题意知标准抛物线的焦点在坐标轴上，可分为两种
情况，分别求解抛物线的方程即可.【详解】（1）由于椭圆的焦点在x轴上，可设其标准方程为 ．由题意， ，
根据椭圆的定义， ，解得 ，
所以 ．
故所求椭圆的标准方程为 ．
（2）因为直线 与两坐标轴的交点分别为 和 ，即抛物线的焦点坐标可以是
和 ，
当抛物线的焦点为 ，其方程形如 ，
则由 可得 ，此时抛物线的方程为 ；
当抛物线的焦点为 时，其方程形如 ，
则由 可得 ，此时抛物线的方程为 .
综上，可得抛物线的方程为 和 .
18．(1)
(2)（i） ；（ii） .
（1）根据题设条件得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的标准方程；
（2）（i）将直线 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得 的值；
（ii）设直线 的方程为 ，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面
积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得 的面积最大值.【详解】（1）设点 ，其中 ，则 ，
，
故 的最大值为 ，
①
当点 为上顶点 时， ，
②
又因为 ，由 得 ， ， ，
③ ①②③
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 、 ，易知点 、 ，
（i）由题意可知直线 的方程为 ，
联立 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 .
（ii）易知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，联立 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
所以三角形的面积为
令 ，则函数 在 上为增函数，
故当 时，即当 时， 取最大值，且 .
19．(1)
(2)不是，理由见解析.
(3)证明见解析
（1）设圆的一般方程列方程组计算求解；
（2）代入点得出双曲线方程 ，再应用点差法计算求解结合点A为线段MN的中点得出矛盾；
（3）联立方程计算得出 ，再应用斜率公式计算求解.
【详解】（1）设圆方程为 ，，
求出 ，
所以所求圆方程为 ；
（2）不能，
设双曲线D方程为 ，
则 ，所以双曲线方程为 ，
若存在，由题易知直线斜率存在，设 ，且 ，
因为M、N在双曲线上，
所以 ，两式相减可得 ，
所以 ，
若点A为线段MN的中点，
则 ，即 ，代入上式，
所以 ，则直线l的斜率 ，
又由题知点P在直线 上，且
所以不存在符合题意直线l，
综上，点A不是线段MN的中点
（3）设 ，直线BS方程为则 ，
所以 ，
所以
得 ，
同理 ，
