名校教研联盟2025届高三12月联考数学参考答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1227（西北卷）名校教研联盟2025届高三12月联考

绝密★启用前 数学参考答案 1.【答案】B 2 【解析】z  1i，z 1i，故|z z||2i|2. 1i 2.【答案】C 【解析】因为A{2,1,0,1}，且B x x2k,kZ ，故AB{2,0}. 3．【答案】D 【解析】根据题意有F(1,0)，且C 的准线方程为x1，故F 到准线的距离d 2.因为准 l 线被圆截得的弦长l 2，设圆的半径为R，则由几何关系可知R2 d2 ( )2 5，故圆的 2 方程为(x1)2  y2 5. 4.【答案】A 【解析】角的终边在射线 y  2x(x ≤0)上，所以角为第二象限角，且tan 2 ， 2 5 5  π  故sin ，cos  .又因为sin(2 ) sin 2 cos  cos 2 sin ， 5 5 4 4 4 4 3  2 且sin 2 2sincos  ，cos2 2cos21  ，所以sin(2 )  . 5 5 4 10 5.【答案】C C2 3 【解析】该同学抽取到两道历史题的概率为P  10  ，抽取到一道历史题和一道地理题 1 C2 8 16 C1 C1 1 C2 1 的概率为P  10 6  ，抽取到两道地理题的概率为P  6  ，故至少答对一道题的 2 C2 2 3 C2 8 16 16 2 2 2 1 1 1 27 概率为PP [1(1 )(1 )]P [1(1 )(1 )]P [1(1 )(1 )] . 1 2 3 3 3 3 2 2 2 32 6.【答案】A 4 【解析】根据题意有lg(x2 ax5)0，即x2 ax51，当x(1,4)时，有a x ， x 4 4 4 又因为此时x ≥2 x  4，当且仅当x  2时等号成立，故若满足a x ，则a  4. x x x 又因为 f(x)在区间(1,4)单调递减，即g(x) x2 ax 5在区间(1,4)单调递增，又g(x)图 a a 像的对称轴为x  ，故还要满足 ≤1，即a≤2，综上，a的取值范围是(,2]. 2 2 数学参考答案 第1页（共8页）7.【答案】B 【解析】如图，设O为球心，且O在平面ABD和平面BCD上的 射影分别为O ，O ，点E为BD的中点.因为平面ABD平面 1 2 BCD，且△ABD和△BCD 均为等边三角形，故O ，O 均为 1 2 等边三角形的中心，四边形OOEO 为正方形，且BEOE.所以 BE 3，OE1， 1 2 1 OE 2，球半径ROB BE2 OE2  5，故球的表面积S 4R2 20. 8.【答案】D 【解析】当x yz0时，|xy||xy||xz|0，故 A 错误；令 y0，2xz，则 |xy||xy||xz||x|，|yz3||2x3|，若x2x3，即x3，则四个数相等，故 B错误；不妨取x6，y2，z1，则| x  y| 4，| x  y|8，| x  z| 5 ，| y  z 3| 4 ， 故C错误；记M 为四个数中最大的数，当xy≥0时，则|x y||x||y|≥| x  y |， 1 故 M  max  | x  y |,| x  z |,| y  z  3 |  ≥ (|x y||x z|| y z3|) ≥ 3 |x yxz3 yz| 1 3 1，当x  y  ，且z  时，M 1（M 的值为1的条件不唯 3 2 2 一）；当xy 0时，|x y||x y|，不妨设x0，y 0，则只需考虑0 y 1且z 1的 情况，此时 y z 2，故| y z3|1，故当xy 0时，M 1.综上有M ≥1，故D正确. 9.【答案】AC（选对一项给3分） 【解析】因为e ，e 是两个相互垂直的单位向量，且向量ae 2e ，be 2e ，故不 1 2 1 2 1 2 妨设 e (1,0) ， e (0,1) ，则 a (1,2) ， b (1,2) ，故 |a| 12 (2)2  5 ， 1 2 |b| 12 22  5 ，|a ||b |，故A正确；ab 11 (2)2  3 0 ，a 与b不垂 直，故B错误；a  b  (0,4)，e  (0,1) ，010(4)  0，所以(a b)∥e ， 2 2 故C正确；2ab(1,6)，故|2a  b| 12  (6)2  37 ，故D错误. 10.【答案】BCD（选对一项给2分，选对两项给4分） 【解析】过E ，F ，H 三点的截面是顺次连接H ，E ，F ，及DD 中点所构成的矩形； 1 过E ，G，H 三点的截面是顺次连接H ，E ，A ，D 所构成的矩形；设直线FG 与直线 1 1 AD ，DD 分别交于M ，N 两点，连接HM ，HN ，分别交 AB ，C D 于P ，Q 两点， 1 1 1 数学参考答案 第2页（共8页）则过F ，G，H 三点的截面是五边形PFGQH ；过E ，F ，G三点的截面是顺次连接 AB ， BC ，CC ，C D ，A D ，AA 各边中点所构成的正六边形，故B，C，D正确. 1 1 1 1 1 1 11.【答案】ACD（选对一项给2分，选对两项给4分） 【解析】当 1时， f (x) x3  x2  x1 x2(x1)(x1)(x1)(x1)2， 不等式 f (x)≥0的解集为[1,)，故A正确； 2 1 f(x)3x2 2x，当2 3时，f(x)3x2 2x  (3x)2≥0，f(x) 3 3  在(,)单调递增，x   不是 f (x)的极值点，故B错误； 3 若曲线 y  f (x) 关于点(a,b) 对称，则有 f (a x) f (a x) 2b ，两边同时求导有  f(a x) f(a x)0，即曲线 y  f(x)关于直线x  a对称.由上可知x 是曲线 3    y  f (x)的对称轴，且当22 9时，有 f( x) f( x)2，故点( ,1) 是曲 3 3 3 线 y  f (x)的对称中心，且在直线 y 1上，故C正确； 设x 是 f(x)任意一个零点，则 f(x ) x3 x2 x 10.易知x 0，故当42 时， 0 0 0 0 0 0 1  1  2 2 x   (  )2  ≤ 0，结合x 0，得x 0，故D正确. 0 x2 x x 2 4 4 0 0 0 0 0 12.【答案】30 15 2 a a 【解析】因为{a }是等比数列，设公比为q ，则q3  5  2 2 ，q  2 ，a  2  2 ， n 1 a q 2 a (1q8) S  1 30 15 2 . 8 1q 13.【答案】35 10 10 【解析】因为 x 500， y 200，所以x 50， y  20.又 yˆ b ˆ x aˆ中b ˆ0.5， i i i1 i1 回归直线一定过样本点中心(50,20)，所以20  0.550  aˆ ，aˆ  5，所以 yˆ 0.5x5. 当x 80 时， yˆ 0.580535. 14.【答案】4 2 数学参考答案 第3页（共8页）【解析】根据题意有F(2,0)，设C 的左焦点为F，则F(2,0).C 的实轴长为2a2 2 . 由双曲线的定义可知 |PM ||PF ||PM ||PF|2a ，当 M ， P ， F 共线时， |PM ||PF|的值最小，此时|PM ||PF||MF|8 2 ，|PM ||PF |6 2 ，P(3, 7). 当N ，F ，P 共线，且P在线段NF 的延长线上时，|PN ||PF |的值最大，此时P点坐 标也为(3, 7)，且|PN ||PF ||NF |2 2 ，即|PF ||PN |的值最小，最小值为2 2 . 所以当P的坐标为(3, 7)时，|PM||PF|和|PF||PN|同时取得最小值，故 |PM||PN|2|PF|的最小值为6 2 2 2 4 2. 15.（13分） sin A 3cos A 【解析】（1）因为sinC 0，由正弦定理可得  . ……3分 sinC sin(A B) 因为ABC ，故sin(AB)sinC ，则有sinA 3cosA， 即tanA 3.……5分  因为A(0,)，故A ． ……6分 3 1 3 （2）由（1）知S  bcsinA bc 3 ，故bc4． ……8分 △ABC 2 4 由余弦定理可知a2 b2 c2 2bccosAb2 c2 bc≥2bcbcbc4． ……11分 故a≥2．当且仅当bc2时等号成立． ……12分 所以a的最小值为2． ……13分 16.（15分） 【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接OE. 因 为 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 故 O 为 AC 的 中 点. ……2分 又因为E 为PC的中点，故OE∥PA. ……4分 又OE 平面BDE，PA 平面BDE， 所以PA∥平面BDE . ……6分 （2）方法1：设P为P在底面上的射影，则PP平面ABCD . 因为PP 平面PBD ，故平面PBD 平面ABCD . ……7分 设E为E 在底面上的射影，则EE平面ABCD ，EE∥PP，且C ，E，P共线， 又因为E为PC的中点，故E为CP的中点. ……8分 过E作BD的垂线，垂足为H ，连接EH，因为EE平面ABCD ，则EE BD ，故BD  数学参考答案 第4页（共8页）平面EEH ，BD  EH ，EHE是二面角E BD C 的平面角. ……10分 因为 AB 8 ， AD 6 ，BAD 90，四棱锥 P ABCD 的体积为80，故 PP5， 1 5 24 12 EE PP ，易知C 到BD的距离为 ，且E为CP的中点，故EH  .…12分 2 2 5 5 EE 25 所以tanEHE  . ……13分 EH 24 因为平面PBD 平面 ABCD ，故二面角PBDE的平面角与二面角EBDC的平面角 24 互余，所以二面角PBDE的正切值为 . ……15分 25 方法2：如图，以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向建立空间坐标系.设P为P在底面上 的射影，因为 AB 8，AD 6，BAD 90，四棱锥P ABCD 的体积为80，故PP5， 5 则 B(6,8,0) ，且可设 P(6a,8a,5) ，又因为 E 为 PC 的中点，则 E(3a,4 4a, ) ，故 2 5 DP (6a,8a,5)，DE (3a,44a, )，DB (6,8,0). ……9分 2 设平面PBD的法向量为m (x ,y ,z )，平面EBD的法向量为n (x ,y ,z )，则 1 1 1 2 2 2 6ax 8ay 5z 0  1 1 1 ， 6x 8y 0 1 1  5 3ax (44a)y  z 0  2 2 2 2 . ……10分  6x 8y 0 2 2 不妨取 x 4 ， x 4 ，则 m (4,3,0) ， 1 2 24 n (4,3, ). ……12分 5 mn 44(3)(3) 25 24 故cos m,n    ，且sin m,n  .……14分 |m||n| 576 1201 1201 169 169 25 24 易知二面角PBDE为锐角，故其正切值为 . ……15分 25 17.（15分） 【解析】（1）设C的半焦距为c，因为右焦点为F(2,0)，故c 2. ……1分 c 2 又C的离心率  ，故a2 2 . ……3分 a 2 由椭圆的几何性质有a2 b2 c2，故b2 a2 c2 4. x2 y2 所以C:  1. ……5分 8 4 数学参考答案 第5页（共8页）（2）显然直线PQ 斜率存在，并设其方程为y k(x4)，与C 的方程联立有： (12k2)x2 16k2x32k2 80，其中0. 16k2 32k2 8 设P(x ,y )，Q(x ,y )，则x x  ，x x  . ……7分 1 1 2 2 1 2 12k2 1 2 12k2 x2 x2 故|PF ||QF | (x 2)2  y2  (x 2)2  y2  (x 2)2 4 1  (x 2)2 4 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 4  (x 4)2  (x 4)2  |x x 4(x x )16| . ……11分 2 1 2 2 2 1 2 1 2 12k2 1 故由|PF||QF|3，可得k2  ，x x 2，x x 2. ……12分 1 2 1 2 6 所以|PQ| 1k2|x x | 1k2  (x x )2 4x x ……13分 1 2 1 2 1 2  14 . ……15分 18.（17分） 1 【解析】（1） f (x) 的定义域为(1,) ，当a 1时， f(x)ex  . ……1分 x1 当1 x0时， f(x)0， f (x) 单调递减，当x 0时， f(x)0， f (x) 单调递增， 故x0是 f (x)的极小值点. ……4分 所以 f(x)的最小值为 f(0)1. ……5分 1 （2）（i） f(x)aeax  ，当a ≤0时， f (x) 单调递减， f (x) 没有极值点.……6分 x1 当a0时， f(x)单调递增，若x 是 f(x)的极值点，则x 是唯一极值点，且为极小值点， 0 0 1 此时有 f(x )aeax 0  0. ……7分 0 x 1 0 1a 1a 1a 2 因为 f(x)单调递增，故x ≥ 等价于 f( )a(e 2  )≤ f(x )0.……8分 0 2a 2a a1 0 1x 1x 1 设g(x)(x1)e 2 2(x0)，则g(x) (1x)e 2 . ……9分 2 当0 x1时，g(x)0，g(x)单调递增，当x 1时，g(x)0，g(x)单调递减，故g(a) 1a 2 1a 1a 2 1 a ≤g(1)0，即e 2  ≤0. 故 f( )a(e 2  )≤0，x ≥ .……11分 a1 2a a1 0 2a 数学参考答案 第6页（共8页）1 1 （ii）由（i）可知eax 0  ，故 f (x )  ln(x 1) . ……12分 a(x 1) 0 a(x 1) 0 0 0 1 1a 因为当a0时，函数h(x) ln(x1)单调递减，且由（i）可知x ≥ ，故 a(x1) 0 2a 1a 2 a1 f (x ) h(x )≤h( ) ln . ……14分 0 0 2a a1 2a 2 x1 1x 设(x) ln (x0)，则(x) . ……15分 x1 2x x(x1)2 当0 x1时，(x)0，(x)单调递增，当x 1时，(x)0，(x) 单调递减，故(a) 1a ≤(1)1，故 f(x )h(x )≤h( )(a)≤1. ……17分 0 0 2a 19.（17分） 【解析】（1）Y :2,3,1,0，Y :0,3,2,1，Y :2,1,0,3，Y :3,2,0,1. ……3分 注：写对一个给2分，写对两个给3分，有写错的给0分. （2）若x  x  y  y ，则x  y  y  x ，故| x  y || x  y |. ……5分 i j i j i i j j i i j j 假设 X 和Y 关于S 全封闭，因为i j，则由题中定义可知|x y |和|x  y |不能为S 中相 i i j j 同的元素，即|x  y ||x  y |，这与| x  y || x  y |矛盾，假设不成立. i i j j i i j j 故 X 和Y 关于S 半封闭. ……7分 （3）若E()E()，由结论所具有的对称性及由（1）所得到的结果猜想：若X 和Z 关 于S 全封闭，则存在Y  X ，使得Y 和Z 关于S全封闭. 由数列Z和 X 可构成一个数表（i）： 0 1 … j … n x x … x … x 0 1 j n 交换数表（i）中两行，得到数表（ii）： x x … x … x 0 1 j n 0 1 … j … n 记该过程为第一次操作. ……9分 数学参考答案 第7页（共8页）调整数表（ii）中各列的顺序，使数表的第一行变为0,1,,n ，此时设数表的第二行变为 y ,y ,,y ，得到数表（iii）： 0 1 n x 0 1 … j … n j y  j y … y … y 0 1 j n 记该过程为第二次操作. ……10分 假设X Y ，则x  y ，x  y ，…，x  y .不妨设x  0，x  0( j  0)，则经 0 0 1 1 n n 0 j 过第一次操作后，在数表（ii）中x  0与 j同列；再经过第二次操作后，在数表（iii）中0 j 与 j同列，因此 y  j ，故| y 0|| x  j|.又因为X 和Z 关于S全封闭，由（2）可知， 0 0 j |x 0||x i|(i 1,2,,n)，且经过两次操作后Y 和Z 也关于S全封闭. ……12分 0 i 因为x  y  j ，故| x 0|| x  j|( j  0)，这与| x 0|| x i|(i 1,2,,n)矛 0 0 0 j 0 i 盾.故若X 和Z 关于S全封闭，则存在Y  X ，使得Y 和Z 关于S 全封闭. ……13分 n n n 因为X 和Z 关于S 全封闭，则 (x2 2ix i2) |x i|2 02 12 n2  x2 . i i i i i0 i0 i0 n n n n n n 所以 2ix   i2 ，同理有 2iy   i2 ，故 2ix   2iy . ……15分 i i i i i0 i0 i0 i0 i0 i0 2x 2y 因为随机变量 和 分别服从P( i)  i 和P( i)  i ，i  0,1,,n ， n(n 1) n(n 1) n 2ix n 2iy 1 n 故E() i  i  E()  i2 . ……16分 n(n1) n(n1) n(n1) i0 i0 i0 n n n n 1 n n 因为 i2   x2   y2 ，且 X Y ，故 i2   (x2  y2)  x y . i i i i i i 2 i0 i0 i0 i0 i0 i0 n  x y n n i i 又 (x  y )  2  i  n(n 1)，故E() E() i0 . ……17分 i i n i0 i0  (x  y ) i i i0 数学参考答案 第8页（共8页）