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鹰潭市 2024 届高三第一次模拟考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．时间120分钟．满分150
分．
第Ⅰ卷选择题
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A. 2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少
B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多
C. 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
4. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
.
A 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
5. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．
其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为 ，
则单位职工体重的方差为（ ）
A. 166 B. 167 C. 168 D. 169
6. 已知 ， ， =（ ）
.
A B. C. 3 D.
7. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，如图，过点 作倾斜角为 的直线与椭圆 交
于 ， 两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（
）
A. B. C. D.
8. 在满足 ， 的实数对 中，使得 成
立的正整数 的最大值为（ ）
A. 22 B. 23 C. 30 D. 31
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 如图所示，已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ，
为线段 的中点，射线 与单位圆交于点 ，则（ ）
A.
B.
C. 点 的坐标为
D. 点 的坐标为
10. 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ， ，
下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则 只有一解
C. 若 为锐角三角形，则 取值范围是
D. 若 为 边上的中点，则 的最大值为
11. 直四棱柱 的所有棱长都为4， ，点 在四边形 及其内部运动，
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学科网（北京）股份有限公司且满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 点 的轨迹的长度为 .
B. 直线 与平面 所成的角为定值．
C. 点 到平面 的距离的最小值为 .
D. 的最小值为-2．
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中 的系数为______．
13. 已知抛物线 的焦点为 ， 是 上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为
，则 的最小值为______．
14. 已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，求 =______．
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设 为数列 前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差数列．
的
（1）求 的通项公式;
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学科网（北京）股份有限公司（2）令 ， 为数列 的前 项积，证明： ．
16. 如图1，已知正三角形 边长为6，其中 ， ，现沿着 翻折，将点 翻
折到点 处，使得平面 平面 ， 为 中点，如图2．
的
（1）求异面直线 与 所成角 余弦值；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
17. 2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.
魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行
改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红
色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分
别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左
右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 ，求 的分布列．
18. 已知在平面直角坐标系 中， ： ， ： ，平面内有一动点 ，过 作 交
于 ， 交 于 ，平行四边形 面积恒为1.
（1）求点 的轨迹方程并说明它是什么图形；
（2）记 的轨迹为曲线 ， ，当 在 轴右侧且不在 轴上时，在 轴右侧的 上一点 满足
轴平分 ，且 不与 轴垂直或 是 的一条切线，求 与 ， 围成的三角形的面积最小
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学科网（北京）股份有限公司值.
19. 设A是由 个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该
行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实
数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
1 2 3
1 0 1
表1
（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均
为非负整数，求整数a的所有可能值：
a
表2
（3）对由 个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每
行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
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